半円の弧の長さが底辺より長いことの証明について

円周率を使わずに、半円の弧の長さが底辺の長さより長いことを数学的に証明するにはどうしたらいいか教えてください

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/31 08:41

2点間を結ぶ最短の線は2点を端点とする真っ直ぐな線分で

それ以外の線はもっと長い。

これの変分法を使った証明は良く目にすると思う。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2025/01/30 23:24

曲線の長さ（道のり）の定義に従って証明すればいいんです。

曲線の長さは、大雑把に言えば「曲線を近似する折れ線を構成する線分の長さの総和」の極限で定義されます。円弧の場合「近似する折れ線」として円に内接する正(2^n)角形（の半分）を使えばいいですね。これと三角不等式を使うと、「直径の長さ＜正(2^n)角形の折れ線の長さの半分＜正(2^(n+1))角形の折れ線の長さの半分＜半円の弧の長さ」が言えるというストーリーです。

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2025/01/30 18:07

お礼コメントにあった「自明の根拠を数学的に説明」についてですが、そもそも「自明」と言うのは正確に言えば数学的な概念ではありません。

証明問題等で「自明」と書く場合は概ね「わざわざ証明を書くまでもない分かり切った事」と言った意味合いで用いているようですが、数学において本当に証明が必要ないものは定義と公理だけです。それ以外の命題(と言う表現は厳密に言えば不適切なのでしょうが便宜上「PはQである」と言う形の主張を全部こう書く事にします)はどんなにアホみたいな内容であっても真である事を示すためには必ず証明が必要です。その意味で「自明の根拠を数学的に説明」と言う発想自体が数学的な考え方ではない事になると思います。

ちなみに私が持っている本には「A=A」の証明が載っていました。ヒトをバカにするなと言いたくなる命題ですが、公理系の中に公理として採用されていない以上定理として証明するしかないわけです。

No.4 回答者： mukaiyamo 回答日時： 2025/01/30 17:05

何をお礼欄で再質問しているの？

まあとにかく、

ある２点間を最短距離で結ぶのは直線である。

の一言に尽きます。

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2025/01/30 15:38

まず「底辺」とはどこを指してるんでしょうか。

忖度できそうでできない感じです。

No.2 回答者： mukaiyamo 回答日時： 2025/01/30 15:36

底辺？

弦のことなら、弧より弦のほうが短いことは自明の理で、証明の必要などないのでは？

この回答へのお礼

自明の根拠を数学的に説明するにはどうしたらいいですかね？
何か法則とかないですかね
見て判断とかはダメです

お礼日時：2025/01/30 16:51

No.1 回答者： seiji91 回答日時： 2025/01/30 15:29

円周＝直径×円周率