合成関数 f(f(x))=g(x)とおくと、f(f(f(f(x))))=g(g(x))であることが

合成関数 f(f(x))=g(x)とおくと、f(f(f(f(x))))=g(g(x))となることがよく理解できてません。
私の関数に関する理解に根本的欠陥があるのかもしれませんが　
いわば入れ子４つを入れ子２つで表すこのカラクリをどなたかわかりやすく説明していただけませんか？

質問者からの補足コメント

• うーん、あなたの説明は答えがわかってるから逆算しただけ、という印象なのですが
  私はあなたの書いた= g(f(f(x))) = f(f(f(f(x))))がなぜそうなるかを説明してほしいと言っているわけです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/01/30 18:46

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/30 19:14

f(f(X))=g(X)

X=f(f(x))=g(x)
f(f(f(f(x))))=g(g(x))

この回答へのお礼

すばらしい数学センスと表現力。
large Xとsmall xで疑問が氷解。
余計な言葉がないにもかかわらず最も雄弁。
これこそ私の期待していた回答。
恐れ入りました。

お礼日時：2025/01/30 22:17

No.9 回答者： finalbento 回答日時： 2025/01/30 21:33

先の回答に書いた

g･f…①

と言う合成関数の書き方について書き忘れていた事を少し。

①で表した合成関数は、まず関数fを作用させた後に関数gを作用させると言う意味になります。例えば

f(x)=2x

g(x)= x^2

とすると

g･f

と言う合成関数は、まずfを作用させて

f(x)=2x

とした後、次にgを作用させて

g(f(x))=g(2x)

=(2x)^2

=4x^2

と言う具合になります。

No.8 回答者： finalbento 回答日時： 2025/01/30 21:25

合成関数の書き方には質問文のようにカッコを入れ子式に書くやり方の他に、例えば関数fと関数gの合成関数を

g･f

と言ったかけ算のような形で表す場合があります。

(注:本当は黒丸ではなく白丸、すなわち「◯」を「･」ぐらいの小さな大きさで書くのですが、ウェブ上での出し方が分からないのでここでは「･」で代用する事にします)

この書き方にすると質問文にあったg(x)の定義は

f･f=g…①

となります。そして質問しておられる問題の合成関数は

[f･{f･(f･f)}]=g･g…②

と言う少し見易い形になります。

まず②の右辺は①より

g･g=g･(f･f)

となります。そして残ったもう一つのgも書き直すと

(f･f)･(f･f)

となります。そして合成関数には普通の数の計算と同じく結合法則

h･(g･f)=(h･g)･f

等が成り立つのでカッコを取り払って

f･f･f･f

と書く方法もあります。そして②の右辺をこの書き方にすればやはり

f･f･f･f

となるので問題の合成関数の式が成り立つ事が分かりました。

やってる事は書き直す前と全く同じなのですが、こちらの方が見易くて納得し易いのではと思います。

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/01/30 21:22

わからないなら何しても無理。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/01/30 20:17

ただし

x≠-1
もあった。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/01/30 20:06

本質的に #1 と同じだけど.

「f(f(x)) = g(x) とおく」とき,
任意の a に対して f(f(a)) = g(a) である
ことは理解できますか?

「f(f(x)) = g(x) とおく」とき,
任意の関数 h(x) に対して h(f(f(x))) = h(g(x)) である
ということは理解できますか?

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/01/30 19:46

ff(x)={1+(1+x)/(1-x)}/{1-(1+x)/(1-x)}

={1-x+1+x}/{1-x-(1+x)}
=-1/x

したがって
ff{ff(x)}=-1/ff(x)=x

たたし、x≠0 もだけどね。

この回答へのお礼

>したがって
ff{ff(x)}=-1/ff(x)=x

ここなんですけど
ff(x)=-1/xとわかれば普通じゃあ次fff(x)は如何？となるでしょう、ところがそれを省いて一足飛びに
ffff(x))=となぜいけるのかということなんです。それはf(f(x))=g(x)とおくと、f(f(f(f(x))))=g(g(x))であるからなんだけど、
結局なぜそういえるのかを知りたいと言ってるわけです。４つあった入りこを
二つにまとめて、２かけ２にしてるようなんだけど。わかりやすい例ないすかね。数Ⅰ数Ⅱレベルの問題だし。

お礼日時：2025/01/30 21:01

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2025/01/30 17:45

f(x)とはxの関数と言う意味で、そのfとはFunctionの頭文字Fです。

g(x)も同じでです。ただ、そのgはfとは異なるという意味で、
単にfの次の英文字を当てた、と言うだけです。

> f(f(f(f(x))))=g(g(x))となることがよく理解できてません。
一義的にそうなるのではなく、そうしましょう、としているだけです。

この回答へのお礼

すいません。省略してましたが、もともとの問題文は、
f(x)=1+x/1-xのとき(x=not1の実数）
f(f(f(f(x))))=x
であることを証明せよ。
というものです。その前解答過程で質問にあるf(f(x))=g(x)がでてきたのです

お礼日時：2025/01/30 19:03

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/30 17:39

∀x, g(g(x)) = g(f(f(x))) = f(f(f(f(x)))).

「代入」って、知ってる？

この回答へのお礼

うーん、あなたの説明は、答えがわかってるから逆算してごまかした、という印象なのです。
私はあなたの書いた= g(f(f(x))) = f(f(f(f(x))))がなぜそうなるかを説明してほしいと言っているわけです。

お礼日時：2025/01/30 19:17