2025.1.3 20:14にした質問で更に質問した 質問9、質問10、質問11に解答して頂きたいで

2025.1.3 20:14にした質問で更に質問した
質問9、質問10、質問11に解答して頂きたいです。



質問6を以下の様に訂正して、
訂正した質問6を質問9とします。

質問9,
「質問文の内容に対する訂正は以下のようになるのです
------------------------------------------
m=n+2
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
の留数(residue)を求めるために、

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)^{m-1}の係数を取り出すために
展開した式から(z-π/2)^{m-1}の項を取り出し
m-1回微分し
(m-1)!で割ります。」

の訂正した質問文中の「方法」でh(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}の留数を求めるまでの過程の計算を画像などでわかりやすく教えて頂けないでしょうか？



質問10,

2025.1.15 09:33にmtrajcp様から頂いた解答の

>>g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は

...
g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!


や
2025.1.16 10:46にmtrajcp様から頂いた解答の

>> 質問4

展開した式から(z-π/2)^{n+1}の項を
...

g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は

g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!


では、g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次の係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!を求めていますが、

2025.1.18 20:19にmtrajcp様から頂いた解答の画像の青い線で囲われた
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}の式より、

(質問7に関しては、2024.8.20 18:17の質問の2024.8.27 18:55にmtrajcp様から頂いた解答より、

n≧-1のとき
z≠π/2のとき
g(z)=(z-π/2)tan(z)　
↓両辺を(n+1)回微分すると
g^(n+1)(z)=(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
↓両辺を(n+1)!で割ると
g^(n+1)(z)/(n+1)!={1/(n+1)!}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
↓z→π/2　とすると
g^(n+1)(π/2)/(n+1)!={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

∴
a(n)
=g^{'(n+1)}(π/2)/(n+1)!
={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

とする事で、
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した式の(n+1)次係数であるg^{'(n+1)}(π/2)/(n+1)!をどの様に導いたのかわかりましたが、)

なぜg(z)をテイラー展開した式の(n+1)次の係数であるg^{'(n+1)}(π/2)/(n+1)!を求めるではなく、
(n-1)次の係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!を求めたのでしょうか？

どうか理由を教えて下さい。

※こちらの質問に載せた画像は2025.1.3 20:14の質問に対して、2025.1.18 20:19にmtrajcp様から頂いた解答の画像です。



質問11,

2025.1.15 20:11に頂いた解答の

>> 質問1
「
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
」
の
式は間違っている

...c(-1)　にならないから
間違っているから


に関して、

右辺でk=0の　項は　c(n)(z-π/2)^0=c(1)

になるから　c(-1)　にならないから

との事ですが、
c(-1)となる様に、
右辺でk=0で、n=-1として、

f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k

f(z) (z-π/2)^(-1) = c(0-1) (z-π/2)^0

f(z) (z-π/2)^(-1) = c(-1)

となり、c(-1) = f(z) (z-π/2)^(-1)とc(-1)になるのではないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 質問9に関しては、
  
  >> g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開の(z-π/2)^{m-1}の係数
  a(m-2)={1/(m-1)!}lim[z→π/2] (d/dz)^(m-1) [(z-π/2)tan(z)]
  
  よりg(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開の(z-π/2)^{m-1}の係数a(m-2)={1/(m-1)!}lim[z→π/2] (d/dz)^(m-1) [(z-π/2)tan(z)]は質問に載せた画像の右側の下から二つ目の赤い四角で囲われた式だとわかりました。

    補足日時：2025/01/26 23:03

• 続けて質問9に関しては、
  
  >>h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
  の留数(residue)
  a(m-2)=Res(tan(z)/(z-π/2)^(m-1),π/2)
  である
  
  に関しては2025.1.3 20:14にした質問に対して2025.1.5 19:47のmtrajcp様の解答に載っていたこちらの画像より、
  留数(residue)
  a(m-2)=Res(tan(z)/(z-π/2)^(m-1),π/2)はh(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}をローラン展開した際の赤い下線部の式の青い下線部の次数の係数だとわかりました。

  
    補足日時：2025/01/26 23:04

• 質問14,
  
  2025.1.13 17:02のmtrajcp様の解答の
  
  >> 2行目
  「
  g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
  」
  は間違っています
  
  
  
  とは、
  
  「g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
  
  g(z)をテイラー展開します。
  
  展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
  
  取り出した係数を(n-1)!で割ります。」
  
  の部分が間違っていると言う事を伝えたいのであり、
  
  2025.1.16 10:46のmtrajcp様の解答より、
  g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数自体がg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!であり、
  既に(n-1)!で割られている為、
  「
  g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
  」
  と事を伝えたかったのでしょうか？

    補足日時：2025/01/30 13:02

• 質問16,
  2025.2.3 05:35のmtrajcp様の解答を参考に、
  
  f(z)=tan(z)
  k=1
  c=π/2
  
  とおいたのだから
  
  f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)
  
  lim[z→π/2]tan(z)(z-π/2)=-1
  だから
  
  f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)
  は
  テイラー展開の式である
  
  との事ですが、f(z)(z-c)^kの変数の式はどうやって作られたのでしょうか？
  
  どうかf(z)(z-c)^kの変数の式を導くまでの過程の計算を教えて下さい。
  
  
  質問17,
  2025.2.7 04:02のmtrajcp様の解答より、
  
  Σ{n=-k～∞}a(n)(z-c)^(n+k)の変数の式はどうやって作られたのでしょうか？
  
  どうかΣ{n=-k～∞}a(n)(z-c)^(n+k)の変数の式を導くまでの過程の計算を教えて下さい。

    補足日時：2025/02/10 01:18

No.19 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/10 20:04

質問18

f(z)=tan(z)
k=1
c=π/2

とおいたから

f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)　…(1)

となる

f(z) が z=c で　k 位の極をもつから

f(z)の　z=c　でのローラン展開を
f(z)=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-c)^n
とおくと
↓両辺に(z-c)^kをかけると

f(z)(z-c)^k=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-c)^(n+k)

左辺lim[z→c]f(z)(z-c)^k　が収束するから
右辺も収束しなければならないから
n+k≧0 でなければならないから

f(z)(z-c)^k=Σ[n=-k～∞]a(n)(z-c)^(n+k)…(2)

となるから
(1)と(2)から

f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)=Σ[n=-k～∞]a(n)(z-c)^(n+k)

となる

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/10 05:38

質問16

f(z)(z-c)^k　は導いたのではありません

lim[z→c]f(z)(z-c)^{k-1}　が発散し
lim[z→c]f(z)(z-c)^k　が収束するとき
f(z)はz=c で　k 位の極をもつという

極の位数の定義から

lim[z→π/2]tan(z)=∞　が発散し
lim[z→π/2]tan(z)(z-π/2)=-1　が収束するから
tan(z) は z=π/2 で　1 位の極をもつから

f(z)=tan(z)
k=1
c=π/2
f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)
とおいただけで導いたのではありません

質問17

f(z)が z=c で　k 位の極をもつとき

f(z)の　z=c　でのローラン展開を

f(z)=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-c)^n

とおく
↓両辺に(z-c)^kをかけると

f(z)(z-c)^k=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-c)^(n+k)

左辺lim[z→c]f(z)(z-c)^k　が収束するから
右辺も収束しなければならないから
n+k≧0 でなければならないから

f(z)(z-c)^k=Σ[n=-k～∞]a(n)(z-c)^(n+k)

となるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

2025.2.7 04:02のmtrajcp様の解答より質問があるのですが、

質問18,
なぜf(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-k～∞}a(n)(z-c)^(n+k)の様に

f(z)(z-c)^kの式と
tan(z)(z-π/2)の式と
Σ{n=-k～∞}a(n)(z-c)^(n+k)の式を=で結べるのでしょうか。

どうか3つの式を=で結べる理由を過程の計算を踏まえて教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/02/10 19:10

No.17 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/07 04:02

訂正です

質問15,
f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
f(z)(z-c)^n= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
は
間違っています
左辺のn(=1)は
f(z)=tan(z)がz=π/2でn=1位の極をもつ極の位数という意味
で
右辺のn(=-1～∞)は
f(z)=tan(z)のz=π/2でローラン展開の(n次)項の次数という意味
だから
nの意味が違うのです
だから
同じnにしてはいけません
間違っています

tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
nを
f(z)=tan(z)のローラン展開の(n次)項の次数
としたときは

f(z)=tan(z)
極の位数
n=1
f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)
と
おくのは間違いです
だから

f(z)=tan(z)
極の位数
k=1
c=π/2
f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)
と
おいて

f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-k～∞}a(n)(z-c)^(n+k)

とすべきなのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

頂いたこちらの解答より、
1つ前のmtrajcp様の解答の「質問者さんからお礼」に書いた

「>>f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-k～∞}a(n)(z-π/2)^(n+k)



の様にΣ{n=-k～∞}a(n)(z-π/2)^(n+k)とすれば、
f(z)=tan(z)
極の位数
k=1
c=π/2
の時のテイラー展開の式f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)と

f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-k～∞}a(n)(z-π/2)^(n+k)と出来て、

k=1の時であれ
Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)とtan(z)(z-π/2)のテイラー展開の式を導けるとわかりました。」

が正しいとわかりました。

かつ、

1つ前のmtrajcp様の解答の「質問者さんからお礼」に書いた

「この部分においては、

「右辺のn(=0～∞)は
f(z)=tan(z)のz=π/2でローラン展開の(n次)項の次数という意味」

右辺はΣ{n=-1～∞}である為、
正しくは、

「右辺のn(=-1～∞)は
f(z)=tan(z)のz=π/2でローラン展開の(n次)項の次数という意味」

ではないでしょうか？」

より、

前のmtrajcp様の解答の

「f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
f(z)(z-c)^n= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
は
間違っています
左辺のn(=1)は
f(z)=tan(z)がz=π/2でn=1位の極をもつ極の位数という意味
で
右辺のn(=0～∞)は
f(z)=tan(z)のz=π/2でローラン展開の(n次)項の次数という意味
だから
nの意味が違うのです
だから
同じnにしてはいけません
間違っています」

の

「右辺のn(=0～∞)は
f(z)=tan(z)のz=π/2でローラン展開の(n次)項の次数という意味」

の部分を

「右辺のn(=-1～∞)は
f(z)=tan(z)のz=π/2でローラン展開の(n次)項の次数という意味」

と訂正して頂き、

こちらに訂正した質問15に関する解答をして頂きありがとうございます。

お礼日時：2025/02/07 06:28

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/06 14:59

質問15,

f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
f(z)(z-c)^n= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
は
間違っています
左辺のn(=1)は
f(z)=tan(z)がz=π/2でn=1位の極をもつ極の位数という意味
で
右辺のn(=0～∞)は
f(z)=tan(z)のz=π/2でローラン展開の(n次)項の次数という意味
だから
nの意味が違うのです
だから
同じnにしてはいけません
間違っています

tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
nを
f(z)=tan(z)のローラン展開の(n次)項の次数
としたときは

f(z)=tan(z)
極の位数
n=1
f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)
と
おくのは間違いです
だから

f(z)=tan(z)
極の位数
k=1
c=π/2
f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)
と
おいて

f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-k～∞}a(n)(z-π/2)^(n+k)

とすべきなのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

なるほど、

>>f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-k～∞}a(n)(z-π/2)^(n+k)



の様にΣ{n=-k～∞}a(n)(z-π/2)^(n+k)とすれば、
f(z)=tan(z)
極の位数
k=1
c=π/2
の時のテイラー展開の式f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)と

f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-k～∞}a(n)(z-π/2)^(n+k)と出来て、

k=1の時であれ
Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)とtan(z)(z-π/2)のテイラー展開の式を導けるとわかりました。


>> f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
f(z)(z-c)^n= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
は
間違っています
左辺のn(=1)は
f(z)=tan(z)がz=π/2でn=1位の極をもつ極の位数という意味
で
右辺のn(=0～∞)は
f(z)=tan(z)のz=π/2でローラン展開の(n次)項の次数という意味
だから
nの意味が違うのです
だから
同じnにしてはいけません
間違っています



この部分においては、

「右辺のn(=0～∞)は
f(z)=tan(z)のz=π/2でローラン展開の(n次)項の次数という意味」

右辺はΣ{n=-1～∞}である為、
正しくは、

「右辺のn(=-1～∞)は
f(z)=tan(z)のz=π/2でローラン展開の(n次)項の次数という意味」

ではないでしょうか？


仮に「右辺のn(=0～∞)は
f(z)=tan(z)のz=π/2でローラン展開の(n次)項の次数という意味」が、正しく場合は理由を教えて下さい。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/02/06 21:54

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/06 14:25

質問15,

f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
f(z)(z-c)^n= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
は
間違っています
左辺のn(=1)は
f(z)=tan(z)がz=π/2でn=1位の極をもつ極の位数という意味
で
右辺のn(=0～∞)は
f(z)=tan(z)のz=π/2でローラン展開の(n次)項の次数という意味
だから
nの意味が違うのです
だから
同じnにしてはいけません
間違っています

tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
nを
f(z)=tan(z)のローラン展開の(n次)項の次数
としたときは

f(z)=tan(z)
極の位数
n=1
f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)
と
おくのは間違いです
だから

f(z)=tan(z)
極の位数
k=1
c=π/2
f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)
と
おいて

f(z)(z-c)^k=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-k～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)

とすべきなのです

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/06 11:00

質問15,

f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
f(z)(z-c)^n= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
は
間違っています
左辺のn(=1)と右辺のn(=0～∞)を同じnにしてはいけないから
間違っています

f(z)=tan(z)
n=1
とおいたとき
f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)
となるとき

tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
と
してはいけないのです

tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
としたときは

f(z)=tan(z)
n=1
f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)
と
おいてはけないのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

要はf(z)(z-c)^nは

f(z)=tan(z)
n=1
c=π/2の時のtan(z)(z-π/2)のテイラー展開の式で、


Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)は

f(z)=tan(z)
n=-1〜∞
c=π/2の時のtan(z)(z-π/2)のテイラー展開の式と言う事でしょうか？

故にtan(z)(z-π/2)のテイラー展開の式としてf(z)(z-c)^n=Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)とおけないと言う事でしょうか？

お礼日時：2025/02/06 13:38

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/06 04:23

質問13,

f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n
f(z)(z-c)^n=Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n
は
間違っています
左辺のn(=1)と右辺のn(=0～∞)を同じnにしてはいけないから
間違っています

f(z)=tan(z)
n=1

とおいたとき

f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)
となるとき

tan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n
と
してはいけないのです

tan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n
としたときは

f(z)=tan(z)
n=1
f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)
と
おいてはけないのです

Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n
は
間違っているのです
a(n)とaを同じ変数aを使ってはいけないのだから
間違っているのです

質問15,
f(z)=∑[k=0,](z-c)^k・1/2πi∫f(ξ)/(ξ-c)^k+1dξ
は
間違っています
f(z)=tan(z)
a(k)={1/(2πi)}∫f(ξ)/(ξ-c)^{k+1}dξ
c=π/2
z→π/2
とすると
∞=a(0)
となって
tan(z)がz=π/2で正則でないのに
右辺が正則で収束するから間違っています

この回答へのお礼

ありがとうございます。

質問14において、訂正します。
訂正した質問14を質問15とします。

質問15,
2025.1.30 13:35に頂いたmtrajcp様の解答より、

>>質問13,

テイラー展開の式は

f(z)(z-c)^n

そのもので

f(z)=tan(z)
n=1
c=π/2
だから

f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)

です
そして

g(z)=tan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n

でもあります



との事ですが、

2025.1.30 13:35に頂いたmtrajcp様の解答のtan(z)(z-π/2)のテイラー展開を表す

「Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n」

の式は

過去にmtrajcp様から頂いた

>>訂正

Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n
は
間違いでした
a(n)とaを同じ変数aを使っているので
間違いです



から始まる解答より、

正しくは、

tan(z)(z-π/2)=Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)

である為、

2025.1.30 13:35に頂いたmtrajcp様の解答の

「f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)

です
そして

g(z)=tan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n

でもあります」

の部分は正しくは、

「f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)

です
そして

g(z)=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)

でもあります」

となる為、


f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)= Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)だと思うのですが、

Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)の式からf(z)(z-c)^nの式を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/02/06 07:17

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/05 20:19

質問12

tan(z)のローラン展開を

tan(z)
=Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+…

としたときは
ローラン展開の-1次の項係数がテイラー展開の0次の係数になるのだから

tan(z)(z-π/2)のテイラー展開は

tan(z)(z-π/2)
=Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
=Σ{m=0～∞}a(m-1)(z-π/2)^m
=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…
なるので

tan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-π/2)^n
=a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+a(3)(z-π/2)^3+…

は間違いです

a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+a(3)(z-π/2)^3+…
は間違いで

a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…
が正しい

質問13,
f(z)(z-c)^n = ∑ {ak (z-c)^(k+n)}
f(z)(z-c)^n=∑[k=0,]ak(z-c)^(n+k)
は
f(z)=tan(z)
n=1
のとき
右辺の第1項(k=0のとき)が
a0(z-c)
となるから間違いです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

質問14,
2025.1.30 13:35に頂いたmtrajcp様の解答より、

>>質問13,

テイラー展開の式は

f(z)(z-c)^n

そのもので

f(z)=tan(z)
n=1
c=π/2
だから

f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)

です
そして

g(z)=tan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n

でもあります



との事ですが、

「f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)

です
そして

g(z)=tan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n」

より、

f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^nだと思うのですが、

Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^nの式からf(z)(z-c)^nの式を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。


質問15,
ある方から
「テーラー展開の一意性より明らかですが証明すると
f(z)=∑[k=0,](z-c)^k・1/2πi∫f(ξ)/(ξ-c)^k+1dξ
g(z)=f(z)(z-c)^n
=∑[k=0,](z-c)^k・1/2πi∫f(ξ)(ξ-c)^n/(ξ-c)^(k+1)dξ
　 =∑[k=0,](z-c)^n(z-c)^k・1/2πi∫f(ξ)/(ξ-c)^(k+1)dξ
=f(z)(z-c)^n より」...①

と教えて頂いたのですが、

g(z)=f(z)(z-c)^n
=∑[k=0,](z-c)^k・1/2πi∫f(ξ)(ξ-c)^n/(ξ-c)^(k+1)dξ

の式に

f(z)=∑[k=0,](z-c)^k・1/2πi∫f(ξ)/(ξ-c)^k+1dξ

を代入して、

=f(z)(z-c)^n

と導いたのだと思いますが、
=f(z)(z-c)^nを導くまでの①の計算は正しいでしょうか？

もし間違っている場合は、
なぜ間違っている式なのか教えて下さい。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/02/06 04:00

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/05 09:44

訂正

Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n
は
間違いでした
a(n)とaを同じ変数aを使っているので
間違いです

また
tan(z)のローラン展開を

tan(z)=Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
と
したときは

tan(z)(z-π/2)のテイラー展開は

tan(z)(z-π/2)=Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
か
tan(z)(z-π/2)=Σ{m=0～∞}a(m-1)(z-π/2)^m
に
なるので

tan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-π/2)^n　は間違いになります

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> tan(z)のローラン展開を

tan(z)=Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
と
したときは

tan(z)(z-π/2)のテイラー展開は

tan(z)(z-π/2)=Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
か
tan(z)(z-π/2)=Σ{m=0～∞}a(m-1)(z-π/2)^m
に
なるので



確かにtan(z)(z-π/2)=Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)はn=-1を代入した際に、
分母に(z-π/2)がある極を持つ項があるローラン展開とは違いa(-1)(z-π/2)から始まる為、テイラー展開となりますね。

tan(z)(z-π/2)=Σ{m=0～∞}a(m-1)(z-π/2)^m (※m=n+1として)もm=0を代入した際に、分母に(z-π/2)がある極を持つ項があるローラン展開とは違いa(-1)(z-π/2)から始まる為、テイラー展開となりますね。


質問12,
>> tan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-π/2)^n　は間違いになります



tan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-π/2)^n
は間違いとの事ですが、

n=0を代入した際に、
分母に(z-π/2)がある極を持つ項があるローラン展開とは違いa(0)(z-π/2)から始まる為、テイラー展開となると思ったのですが、

なぜtan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-π/2)^nは間違いなのでしょうか？


質問13,
ある方に教えて頂いたf(z)(z-c)^n = ∑ {ak (z-c)^(k+n)}の式の右辺と
もう一人の方から教えて頂いたf(z)(z-c)^n=∑[k=0,]ak(z-c)^(n+k)の式の右辺が

Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)の式になるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。


仮にある方に教えて頂いたf(z)(z-c)^n = ∑ {ak (z-c)^(k+n)}の式の右辺と
もう一人の方から教えて頂いたf(z)(z-c)^n=∑[k=0,]ak(z-c)^(n+k)の式の右辺が間違ったテイラー展開の式である場合は、
なぜ間違っている式なのか教えて下さい。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/02/05 19:42

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/05 04:19

f(z)(z-c)^n= Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n

の
左辺のn(=1)と右辺のn(=0～∞)は違うのだから
同じ変数nを使ってはいけません
f(z)(z-c)^n= Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n
は間違いです
だからそうはなりません

g(z)=tan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n

は
g(z)=tan(z)(z-π/2)
のテイラー展開を

g(z)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n
と
おきかえただけです

f(z)(z-c)^n= Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n
は間違いです