2025.1.3 20:14にした質問で更に質問した 質問9、質問10、質問11に解答して頂きたいで

2025.1.3 20:14にした質問で更に質問した
質問9、質問10、質問11に解答して頂きたいです。



質問6を以下の様に訂正して、
訂正した質問6を質問9とします。

質問9,
「質問文の内容に対する訂正は以下のようになるのです
------------------------------------------
m=n+2
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
の留数(residue)を求めるために、

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)^{m-1}の係数を取り出すために
展開した式から(z-π/2)^{m-1}の項を取り出し
m-1回微分し
(m-1)!で割ります。」

の訂正した質問文中の「方法」でh(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}の留数を求めるまでの過程の計算を画像などでわかりやすく教えて頂けないでしょうか？



質問10,

2025.1.15 09:33にmtrajcp様から頂いた解答の

>>g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は

...
g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!


や
2025.1.16 10:46にmtrajcp様から頂いた解答の

>> 質問4

展開した式から(z-π/2)^{n+1}の項を
...

g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は

g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!


では、g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次の係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!を求めていますが、

2025.1.18 20:19にmtrajcp様から頂いた解答の画像の青い線で囲われた
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}の式より、

(質問7に関しては、2024.8.20 18:17の質問の2024.8.27 18:55にmtrajcp様から頂いた解答より、

n≧-1のとき
z≠π/2のとき
g(z)=(z-π/2)tan(z)　
↓両辺を(n+1)回微分すると
g^(n+1)(z)=(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
↓両辺を(n+1)!で割ると
g^(n+1)(z)/(n+1)!={1/(n+1)!}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
↓z→π/2　とすると
g^(n+1)(π/2)/(n+1)!={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

∴
a(n)
=g^{'(n+1)}(π/2)/(n+1)!
={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

とする事で、
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した式の(n+1)次係数であるg^{'(n+1)}(π/2)/(n+1)!をどの様に導いたのかわかりましたが、)

なぜg(z)をテイラー展開した式の(n+1)次の係数であるg^{'(n+1)}(π/2)/(n+1)!を求めるではなく、
(n-1)次の係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!を求めたのでしょうか？

どうか理由を教えて下さい。

※こちらの質問に載せた画像は2025.1.3 20:14の質問に対して、2025.1.18 20:19にmtrajcp様から頂いた解答の画像です。



質問11,

2025.1.15 20:11に頂いた解答の

>> 質問1
「
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
」
の
式は間違っている

...c(-1)　にならないから
間違っているから


に関して、

右辺でk=0の　項は　c(n)(z-π/2)^0=c(1)

になるから　c(-1)　にならないから

との事ですが、
c(-1)となる様に、
右辺でk=0で、n=-1として、

f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k

f(z) (z-π/2)^(-1) = c(0-1) (z-π/2)^0

f(z) (z-π/2)^(-1) = c(-1)

となり、c(-1) = f(z) (z-π/2)^(-1)とc(-1)になるのではないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 質問9に関しては、
  
  >> g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開の(z-π/2)^{m-1}の係数
  a(m-2)={1/(m-1)!}lim[z→π/2] (d/dz)^(m-1) [(z-π/2)tan(z)]
  
  よりg(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開の(z-π/2)^{m-1}の係数a(m-2)={1/(m-1)!}lim[z→π/2] (d/dz)^(m-1) [(z-π/2)tan(z)]は質問に載せた画像の右側の下から二つ目の赤い四角で囲われた式だとわかりました。

    補足日時：2025/01/26 23:03

• 続けて質問9に関しては、
  
  >>h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
  の留数(residue)
  a(m-2)=Res(tan(z)/(z-π/2)^(m-1),π/2)
  である
  
  に関しては2025.1.3 20:14にした質問に対して2025.1.5 19:47のmtrajcp様の解答に載っていたこちらの画像より、
  留数(residue)
  a(m-2)=Res(tan(z)/(z-π/2)^(m-1),π/2)はh(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}をローラン展開した際の赤い下線部の式の青い下線部の次数の係数だとわかりました。

  
    補足日時：2025/01/26 23:04

• 質問14,
  
  2025.1.13 17:02のmtrajcp様の解答の
  
  >> 2行目
  「
  g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
  」
  は間違っています
  
  
  
  とは、
  
  「g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
  
  g(z)をテイラー展開します。
  
  展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
  
  取り出した係数を(n-1)!で割ります。」
  
  の部分が間違っていると言う事を伝えたいのであり、
  
  2025.1.16 10:46のmtrajcp様の解答より、
  g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数自体がg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!であり、
  既に(n-1)!で割られている為、
  「
  g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
  」
  と事を伝えたかったのでしょうか？

    補足日時：2025/01/30 13:02

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/30 13:35

質問12,

(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)

f(z)=tan(z)
n=1
のとき

tan(z) (z-π/2) = Σ[k=0→∞] c(k+1) { kP(0) }(z-π/2)^k

z→π/2　とすると

-1=c(1)

右辺がc(-1)にならないから間違い

質問13,

テイラー展開の式は

f(z)(z-c)^n

そのもので

f(z)=tan(z)
n=1
c=π/2
だから

f(z)(z-c)^n=tan(z)(z-π/2)

です
そして

g(z)=tan(z)(z-π/2)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^n

でもあります

質問14,
違います
「
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
」
というのが間違っているのです

「
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の留数(residue)を求めるために
」
が正しいのです

No.6 回答者： rnakamra 回答日時： 2025/01/30 13:28

質問11に対して回答しますが、その前に指摘しておくことがあります。

以前にも何回か書いてますが、質問者は基礎素養が完全に欠落しています。
最低でも以下の内容について身に着けておく必要があります。
・恒等式
・Σとは何か
・実数の微分・積分演算
・複素数
これらは全て
高校での数学となりますが、質問者はこれが全くできていない。だから質問11という滅茶苦茶な疑問を持つことになる。

質問者がローラン展開を理解するためには一度高校数学を履修しなければならない。高校数学が理解できない人にローラン展開が理解できるわけがない。質問者がしていることは無駄な行為であることを理解しなければならない。

で、質問11への回答をする。
質問者の文を順番を少し入れ替えて記載する。
----------------------------------------------------------
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k

c(-1)となる様に、
右辺でk=0で、n=-1として、

f(z) (z-π/2)^(-1) = c(0-1) (z-π/2)^0
----------------------------------------------------------
この段階でもうやっていることが滅茶苦茶。
最後の式は成り立ちません。
これはあなたがΣの演算を全く理解していないことに起因している。
そう、高校レベルの数学が全く理解できていないためこんなバカげた式が出てくるのである。
もしそんな勝手なことができるのであれば
Σ[k=0～n]k=n(n+1)/2
の式からn=10,k=0を入れて
0=55
と、とんでもない式が得られます。

Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k=c(0+n)*(z-π/2)^0+c(1+n)*(z-π/2)^1+c(2+n)*(z-π/2)^2+c(3+n)*(z-π/2)^3+...
という風にkに0,1,2,3,...を代入していったものを足し合わせたものです。
この式の右辺に"k"なんて文字はありません。この式のkの値を0に固定するなどできないのです。k=0にする、という時点で全てが崩壊している。
こんなことΣの式の基本です。

f(z)が|z-α|<rで正則である場合、|z-α|<rにおいて
f(z)=Σ[k=0→∞]a(k)*(z-α)^k =a(0)*(z-α)^0+a(1)*(z-α)^1+a(2)*(z-α)^2+a(3)*(z-α)^3+... (1)
と表せます。この時
f(α)=a(0)
となるのですが、これはなぜか理解できますか?
まさかk=0としたものを抜き出した、等と理解しているのでしょうか。
これは(1)式の両辺のz→αとした極限を取っているのです。
すると、a(?)*(z-α)^? (?=1,2,3,...)の項は全て0に収束し消すことができるのです。このような過程を経てa(0)だけを残すことができるのです。
かってにk=0を代入、のようなことはできないのです。

最後に一言。
高校の数学から始めなさい。ローラン展開から始めても高校の数学は身につきません。高校の数学を理解できれば、理解できるようになる領域も増えるでしょう。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/27 19:00

質問11の答えを変更します

質問11
「
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
」
の式は間違っている

f(z)=tan(z)
n=1
z→π/2
のとき

-1=c(1)

右辺がc(-1)にならないから間違い

f(z)=tan(z)
n=-1
z→π/2
のとき

∞=c(-1)

左辺が発散するから
「
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
」
の式は間違っている

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/27 04:20

f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^kの右辺

Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k=c(n)+c(1+n)(z-π/2)+c(1+n)(z-π/2)^2++c(1+n)(z-π/2)^3+…

は
nがなんであろうと多項式で正則なのです
分母が0になる項は1つもない多項式です

この回答へのお礼

質問11に対する解答ありがとうございます。

>> f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^kの右辺
...
は
nがなんであろうと多項式で正則なのです
分母が0になる項は1つもない多項式です



確かに、(kの値は0あるいは正の値にしかならない為、) n=-1だろうがnがなんであろうとz=π/2の時に右辺は分母が0になりz=π/2が極となる点を持たない為、
右辺は正則になる事はわかりました。



質問があります。

質問12,
2025.1.3 20:14の質問の2025.1.4 19:49のありものがたり様の解答に書いてある(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)の式も2025.1.15 20:11のmtrajcp様の解答より間違っていると書いてありますが、

(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)の式が間違っている理由を教えて頂けないでしょうか？



質問13,
2025.1.3 20:14の質問の2025.1.14 21:18と2025.1.14 21:32のmtrajcp様から頂いた解答の

>> f(z)(z-c)^n
の
テイラー展開の式は

(d/dz)^(n-1) { f(z)(z-c)^n }

ではありません

f(z)(z-c)^n
の
テイラー展開の式は

f(z)(z-c)^n

そのものです



との事ですが、
正しいテイラー展開の式はf(z)(z-c)^nではなく、
2024.5.8 08:24にした質問の2024.5.10 05:50のmtrajcp様の解答に書かれた
「g(z)=Σ{n=-k～∞}a(n)(z-a)^n」より、
g(z)=Σ{n=-k～∞}a(n)(z-a)^nを参考にして作ったg(z)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^nではないでしょうか？

仮にg(z)=Σ{n=0～∞}a(n)(z-a)^nではなくf(z)(z-c)^nが正しいテイラー展開の式ならば、どうやってテイラー展開の式をf(z)(z-c)^nと導いたのでしょうか？

お礼日時：2025/01/30 13:02

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/25 21:22

質問9

tan(z)のz=π/2でのローラン展開を
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
とすると
a(n)=Res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
n≧-1のとき
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)]
だから
m=n+2
とすると
a(m-2)=Res(tan(z)/(z-π/2)^(m-1),π/2)
m≧1のとき
a(m-2)={1/(m-1)!}lim[z→π/2] (d/dz)^(m-1) [(z-π/2)tan(z)]
だから

h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
の留数(residue)
a(m-2)=Res(tan(z)/(z-π/2)^(m-1),π/2)
を求めるために、

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開の(z-π/2)^{m-1}の係数

a(m-2)={1/(m-1)!}lim[z→π/2] (d/dz)^(m-1) [(z-π/2)tan(z)]
を
求めればよい

展開した式から(z-π/2)^{m-1}の項を取り出し
m-1回微分し
(m-1)!で割ったものが

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開の(z-π/2)^{m-1}の係数
a(m-2)={1/(m-1)!}lim[z→π/2] (d/dz)^(m-1) [(z-π/2)tan(z)]
で
それが求める
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
の留数(residue)
a(m-2)=Res(tan(z)/(z-π/2)^(m-1),π/2)
である
----------------------------------
質問10
あなたの2025/01/03 20:14の質問の1行目に
a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)]
に
(n+1)と書いてあるのだから
本来n+1とすべきなのだけれども
5行目に
「
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
」
と書いてあるから

g(z)をテイラー展開した式の(n+1)次の係数である
g^{'(n+1)}(π/2)/(n+1)!を求めるではなく、
(n-1)次の係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!を求めた
-----------------------------------
質問11

f(z)=tan(z)
n=1
としたのだから

「
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
」
の
式は間違っている

右辺は正則なのに

n=-1 としたら

左辺
f(z)(z-π/2)^n=tan(z)/(z-π/2)
は
正則でなくなってしまう
だから
間違い

この回答へのお礼

ありがとうございます。

質問10に関しては長くなってしまったので以下のURLに載せさせて頂きました。

https://pastebin.com/bv89xbat



質問11に関して質問があります。

「
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
」
の
式は間違っているが、

この式の右辺は正則なのに

n=-1 としたら

左辺
f(z)(z-π/2)^n=tan(z)/(z-π/2)
は
正則でなくなってしまう
だから
間違い
と言う事だと思いますが、

どうやってn=-1の時に、
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^kの右辺が正則だと分かったのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/26 22:46

No.2 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2025/01/25 10:09

俺も1回だけ反応しよう。

　質問文自体が支離滅裂なので、回答は不可能のであるから、とりあえず質問10に関する「落書き」を投稿するwwwwww

> a(n)
> =g^{'(n+1)}(π/2)/(n+1)!
> ={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

　2行目の　　g^{'(n+1)}(π/2)/(n+1)! ねえ・・・

　変な記号だな。こんな妙な記号の使い方をするものだから質問者が混乱するのだ。
　もっとも混乱させるのが目的なのかもしれないがwwwwwwwwwwww

　ま、それはともかく

　　g(z) = (z-π/2)tan(z)

は z = π/2 で定義されないから、z = π/2 のまわりでテイラー展開することはできない。

　　g(z) = (z-π/2)tan(z)　(z≠π/2)
　　g(z) = -1　　　　　　　(z=π/2)

と定義すれば、g(z) はテイラー展開でき、それは

　　g(z) = -1 + a_0(z-π/2) + a_1(z-π/2)^2 + a_2(z-π/2)^3 + … + a_n(z-π/2)^(n+1) + …

なのだから、単にn次の係数 a_n が知りたいだけなら、n+1階微分してn+1 次導関数

①　g^(n+1)(z) = (n+1)!a_n + (n+2)!a_(n+1)(z-π/2) + …　　　　　　

を求めればよい。質問者のレベルは

　　https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13603166

なので無理とは思うが、せめて1次から5次までの導関数

　　g'(z)、g''(z)、g'''(z)、g^(4)(z)、g^(5)(z)

ぐらいは「自力で」計算できるように励むこと。それができないようでは、n+1 次導関数がどうして①のような形になるのかわかるまい。
　n+1 次導関数 g^(n+1)(z) に対して、z→π/2 とすれば

　　lim[z→π/2](g^(n+1)(z)) = (n+1)!a_n

であるから g(z) のテイラー展開①の n 次の係数は

　　a_n = (1/(n+1)!)lim[z→π/2](g^(n+1)(z)) ……※

　たったこれだけのことだ。
　何のために(n-1)次の係数 a_(n-1) を求めたいのかよくわからんけど、求めたいのなら※に放り込めばいいのだ。

　そもそも、g(z)をテイラー展開した「n次」の係数a_nを求めるためには、「n+1回」微分しなければならないことがわかっているのか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/25 09:23

また、質問６に戻るのか。

それもう前の投稿のとき、「質問６」が書かれる前に説明したじゃん。
何度同じとこに戻ってんの？

私は降りる。飽きた。
もう例の m氏でいいんじゃね？
割れ鍋に閉じ蓋みたいだし。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> それもう前の投稿のとき、「質問６」が書かれる前に説明したじゃん。
何度同じとこに戻ってんの？

2025.1.3 20:14にした質問に質問9に対する解答があったと言う事でしょうか？

だとしたら訂正した質問6を質問9に関して2025.1.3 20:14にした質問に対して、2025年の何月何日の何時何分の解答が質問9に対する解答でしょうか？

どうか教えて頂けないでしょうか。
よろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/25 15:28