数学 図形 「同一直線上にない3点を通る平面はただ1つ存在する」というのは平面の「定義」ですか？それ

数学 図形
「同一直線上にない3点を通る平面はただ1つ存在する」というのは平面の「定義」ですか？それとも証明することができ、証明した「結果」ですか？証明できるならば証明を教えて欲しいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/24 07:16

定義です

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/24 11:10

>証明した「結果」ですか？

少なくとも幾何学基礎論（ヒルベルト）では「公理」かな。
定理ではないです。結合の公理の5番目。

ひょっとすると公理じゃない体系もあるかもしれないけど
私が知らないだけかも(^^;

I 結合の公理
①任意の2点 A, B に対して、それらを通る直線 l が少なくともひとつ存在する。
②異なる2点 A, B に対して、それらを通る直線 l はただひとつ存在する。
③一直線上にある異なる点が少なくとも2つ存在する。一直線上にない少なくとも3つの点が存在する。
④同一直線上にない3点 A, B, C を含む平面 α が存在する。平面上には少なくとも1点が存在する。
⑤同一直線上にない3点 A, B, C を含む平面はただひとつ存在する。
⑥直線 l 上の異なる2点 A, B が平面 α 上にあるならば、直線 l は平面 α 上にある。
⑦点 A が平面 α, β 上に存在するならば、点 A とは異なり、平面 α, β 上にある 点 B が少なくとも一つは存在する。
⑧同一平面上にない少なくとも4点が存在する。

この回答へのお礼

皆様ありがとうございました

お礼日時：2025/01/26 00:19

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2025/01/23 22:50

> 証明した「結果」

のことを「定理」って言うんです。（ある定理から簡単に導けるような別の定理を「系」と呼んだり、ある定理の証明の準備として先に証明しておく定理のことを「補題」と呼んだりする習慣がありますが、結局どれも定理には違いないんで、区別する必要はありません。）
　中学高校で習うような空間は、ユークリッドの公理系で定まる幾何学が成り立つ「ユークリッド空間」であり、そこでは「同一直線上にない任意の3点を通る平面が存在し、かつ、ただ1つ存在する」という定理が証明できる。でも、これが定理でない（成り立たない）ような他の公理系を持っている幾何学（あるいは「その公理系で定まる空間」と呼んでも同じことですが）もある。

No.2 回答者： いんちょ 回答日時： 2025/01/23 14:12

公理です。

定理を証明するための前提です。

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/01/23 13:48

定義と同じ様なものですが、公準(約束事)です。

そういう約束事の基で作られている体系ですと言う宣言みたいなものです。
なので、証明は出来ません。

a>bの時、a+c>b+cになるのも公準です。

数学の全ての分野は出発点が定義と公準です。