n!=m^2-1

n!=m^2-1 を満たす自然数(m,n)をすべて求めよ。
という問題で
n=1のときm^2=2でmは整数でないから不適
n=2のときm^2=3でmは整数でないから不適
n=3のときm^2=7でmは整数でないから不適
n=4のときm^2=25だからm=5
n=5のときm^2=121だからm=11
n=6のときm^2=721でmは整数でないから不適
n=7のときm^2=5041だからm=71
と考えました
(m,n)=(5,4)
(m,n)=(11,5)
(m,n)=(71,7)
の他にあるでしょうか?

質問者からの補足コメント

• 累乗算(^)は加減算(-)よりも優先するので
  
  m^2-1=(m^2)-1
  
  となります

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/05/27 09:59

• (m,n)=(5,4)
  (m,n)=(11,5)
  (m,n)=(71,7)
  の他にないことを証明できないから
  質問しているのです
  (m,n)=(5,4)
  (m,n)=(11,5)
  (m,n)=(71,7)
  の他にないことを証明してください

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/05/27 13:36

No.6 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2025/05/28 11:22

Brocard's problem（ブロカールの問題）という未解決問題ですね。

No.5 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2025/05/27 14:52

一部間違えてますね。

(誤) ∃n,m∈N , n!=m^2-1 s.t 7>n⇒ m≠N
(正) ∃n,m∈N , n!=m^2-1 s.t n>7⇒ m≠N

(誤) 7>nにおいて、n!+1が平方数になるかを議論する。
(正) n>7において、n!+1が平方数になるかを議論する。

No.4 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2025/05/27 14:50

>他にないことを証明してください。

残念ながら現代数学で、厳密な証明はまだ不可能です。
ただし、ほぼほぼ存在しないことは証明できます。

(命題)
ある自然数(n,m)が存在し、n!=m^2-1を満たすとき、n>7ならばmは存在しない。

∃n,m∈N , n!=m^2-1 s.t 7>n⇒ m≠N

(証)
n!=m^2-1
⇒m^2=n!+1
すなわち、7>nにおいて、n!+1が平方数になるかを議論する。

n!はn>5 のとき、2, 3, 5 など複数の素因数を含む。
完全平方数になるには、すべての素因数の指数が偶数でなければならない。
しかし、n!+1によってこの偶数性が崩れ、平方数でなくなる可能性が高い。
ゆえにn>7では等号をみたすmは存在しない可能性が高い。

(補題)
任意の整数n>1に対して、
n>p>2n満たす素数 p が存在する。

この素数pはp>nなので、pはn!の約数ではない。
よってn!≡rmod p
すると m^2=n!+1≡r+1mod p。
m^2が平方数であるためには、m^2mod p は平方剰余でなければならない
しかし、r+1mod pが平方剰余である確率は高くなく、nが大きくなるほどこの条件を満たさなくなる。

したがって、n!+1が平方数になる可能性は、n>7では非常に低いかゼロになることが示唆される。

No.3 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2025/05/27 10:11

回答としてはあってるけど、記述問題だとしたら、それ以外に解が存在しないことを示さないと満点になならないよ。

(回答例)
n!=(m^2)-1
変形して
n!=(m-1)(m+1)

・高校レベル
(m-1)(m+1)はn!に比べて増加が緩やか。故に、nが増えると自明に等号は成立しない。

・大学レベル
スターリングの公式により、n!は爆発的に増加するが、二次関数は比較的緩やか。
故に等号が成立するのはnが小さいとき。

n=[0,7]は省略。

故に、成立は
(m,n)=(5,4)
(m,n)=(11,5)
(m,n)=(71,7)
のみ。

この回答へのお礼

(m,n)=(5,4)
(m,n)=(11,5)
(m,n)=(71,7)
の他にないことを証明してください

お礼日時：2025/05/27 13:29

No.2 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2025/05/27 08:27

m^2-1ってどういうこと？1乗ってこと？

そしたら解は無限に存在するよ。

この回答へのお礼

n!=(m^2)-1 を満たす自然数(m,n)をすべて求めよ。
に修正します

お礼日時：2025/05/27 09:19

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2025/05/27 05:48

有りません。

この回答へのお礼

(m,n)=(5,4)
(m,n)=(11,5)
(m,n)=(71,7)
の他にないことを証明してください

お礼日時：2025/05/27 09:17