整数nに対してn^2を3で割って2余るようなnは存在しない?

私の使ってる数学の問題集で整数nに対してn^2を3で割って2余るようなnは存在しない。

これはすごく重要な概念だとか書かれていました、問題自体は理解できたのですが

なぜ上記が重要なのかが理解できていません、数学に明るい方おられましたら
ご教授いただければ幸いです。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/24 21:32

↓このページの「平方剰余の応用」の項でも参照してください。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9 …

剰余系とか合同算術とか呼ばれるものがあって、
a+b を m で割った余り = ( (a を m で割った余り) + (b を m で割った余り) ) を m で割った余り,
a×b を m で割った余り = ( (a を m で割った余り) × (b を m で割った余り) ) を m で割った余り
という計算が成り立ちます。
「m で割った余り」というものが、それ自体
普通の数と似たように計算できる という話です。

剰余系での計算自体に非常に多くの応用がありますが、中でも
剰余系で平方根を見つけることができると、上記リンク先にあるような
様々な計算に役立ちます。

そこで問題となるのが、平方根の値を求める以前に
そもそも平方根が存在するのか？ということです。
実数の世界なら、 x≧0 なら √x は存在し
x<0 だと √x は存在しないだけですが、
剰余系では、平方根が存在するかしないかは
もう少し複雑な法則になります。

それをあらかじめ知っておきたい という関心から、
整数を平方剰余と平方非剰余に区別する方法が重要になるのです。
質問の例は、「3 で割った余り」の世界で 2 が平方非剰余である
という話ですね。

この回答へのお礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。

お礼日時：2024/10/24 22:45

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2024/10/24 11:10

1 整数は全て3の倍数か　余りが1　または　-1　の3つの場合しかありません 3の倍数は当たり前なので除外して

(3k±1)^2=9k^2+6k+1なので　余りはなしか1しかありません

2 合同式なら
(3k)^2=9k^2 Ξ　０　(mod 3)
(3k±1)^2=9k^2　+6k +1 Ξ　1　(mod 3)

3 背理法では、まず逆の仮定を立てます。すなわち、ある整数 n　が存在してn^2Ξ２　(mod 3) であると仮定します。この仮定に矛盾を見つけることで、元の命題が正しいことを証明します。
n を3で割った余り（すなわち n (mod 3))は、0, 1, 2 のいずれかです。それぞれの場合を考えます。
nΞ0　(mod 3)の場合： このとき、n^2Ξ０^２Ξ0 (mod 3) で不適
nΞ　±1　(mod 3) の場合: このとき, n^2Ξ1　(mod 3) で不適
以上のことから、どの仮定をとっても n^2Ξ２　(mod 3)
を満たす整数n は存在しません。よって、元の命題「整数
n に対して n^2Ξ２　(mod 3) を満たすn は存在しない
ことが背理法で証明されました

4 windows のコパイロット　によれば
これは、数論という分野において基本的でありながら深い重要性を持つ命題です。例えば、平方剰余という概念は、暗号理論などの現代的な応用にも影響を与えます。特定の残余を持つ平方数が存在しないということは、数学的構造やパターンの理解に役立ちますし、特定の数の性質を証明する際に鍵となることもあります。数学の世界では、小さな概念が大きな理論に繋がることがよくあります。これが、その一例です。


5 google の　gemini によれば
その概念が重要な理由を、いくつかの側面から解説します。
1. 数論の基礎的な考え方

合同式への理解を深める: この命題は、合同式という強力なツールを用いて証明できます。合同式は、数をある数で割った余りだけに着目するもので、数論の基礎的な考え方です。
偶奇の概念の拡張: 偶数・奇数の概念を、3で割った余りという形で拡張し、数の性質をより深く理解する手がかりとなります。

2. 証明の訓練

背理法の練習: この命題の証明には、多くの場合、背理法が使われます。背理法は、数学的な証明でよく用いられる重要な手法です。
論理的な思考力を養う: 証明を通して、論理的な思考力、特に仮定から結論を導き出す能力を養うことができます。

3. 他の定理や問題への応用

フェルマの小定理へのつながり: この命題は、フェルマの小定理という、より一般的な定理の証明の基礎となる部分です。
合同式の応用問題: 合同式を用いた様々な問題を解く際に、この命題がヒントになることがあります。

4. 数学的な美しさ

シンプルでエレガントな証明: この命題の証明は、比較的シンプルでありながら、数学的な美しさを備えていると言えるでしょう。
数の性質の奥深さ: 一見単純な数の性質の中に、このような深い規則性があることに、数学的な美しさを感じることができます。

5. コンピュータサイエンスへの応用

暗号理論: 合同式は、RSA暗号などの現代的な暗号システムの基礎となっています。
アルゴリズム設計: 合同式を用いた効率的なアルゴリズム設計に繋がることがあります。

「n^2を3で割って2余るようなnは存在しない」という命題は、一見単純なようですが、数論の基礎的な考え方から、より高度な数学、そしてコンピュータサイエンスまで、幅広い分野に影響を与えています。この命題を深く理解することは、数学的な思考力を養い、様々な問題解決に役立つでしょう。

この命題が他のどのような数学の分野に繋がっているのか

この命題は、一般に「平方数は3で割ると0か1余る」と表現されることもあります。
この命題は、3以外の素数についても同様のことが言えます。

ぜひ、この機会に数論の世界を探求してみてください。

(AIもいろいろ種類があり　2つしか見ていませんがこの場合はgoogleの　gemini　の方がいいようです！)

No.2 回答者： kuukun107 回答日時： 2024/10/24 07:04

「整数 \( n \) に対して \( n^2 \) を 3 で割って 2 余るような \( n \) は存在しない」という事実は、数論や合同算術において重要な基本性質の一つです。

具体的な理由や重要性を説明すると、次のような点が挙げられます。

### 1. 数論における「剰余」の性質
整数をある数で割ったときにどんな余りが出るか、という考え方は「剰余」と呼ばれ、数論の基本的な道具です。特に「平方数の剰余」は多くの問題に関わる重要な性質を持っています。

例えば、3 で割ったときの平方数 \( n^2 \) の余りを考えてみると、次のように分類できます。
- \( n = 0 \) のとき、 \( n^2 \equiv 0^2 = 0 \pmod{3} \)
- \( n = 1 \) のとき、 \( n^2 \equiv 1^2 = 1 \pmod{3} \)
- \( n = 2 \) のとき、 \( n^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3} \)

どんな整数 \( n \) も、3 で割った余りが 0, 1, 2 のいずれかですが、平方数は 0 または 1 しか取らないことがわかります。したがって、「\( n^2 \equiv 2 \pmod{3} \) となる \( n \) は存在しない」という事実が導かれます。

### 2. 素数判定や合同算術での応用
この事実は、合同算術（モジュラー演算）を用いた素数判定や方程式の解の存在に関する議論で頻繁に使われます。例えば、フェルマーの小定理や二次合同式を解く際に、このような性質が問題の解法に寄与します。

### 3. 不可能性を証明するための道具
「ある条件を満たす整数が存在しない」という不可能性の証明は、数論の様々な場面で重要です。この問題の性質も、特定の数が存在しないことを示す例として頻出であり、例えば特定の数が解を持つかどうかを考える際に応用されます。

### 4. 有限体やリーマン予想の基礎
有限体や代数的数論などのより高度な数学の分野に進むと、こうした「平方数の余り」の性質は、数の分布や素数の性質に関する深い議論に繋がっていきます。特にリーマン予想などの重要な未解決問題の基礎にも、このような性質が関わっています。

要するに、この事実は「平方数の剰余」の性質を理解する上で非常に基本的であり、数論全体の中でも広範な応用を持つため、重要だとされているのです。

上記は生成AIの解答です。
参考になれば幸いです。

No.1 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2024/10/24 03:44

nを３で割ってみたときのことを考えてみます。

３で割ると、割り切れる（余りが0になる）か、１余るか、２余る、の３通りのうちのいずれかになるはずです。３で割るのですから、余りが３以上になることはありません。そこでこれら３通りの場合を全て確かめてみましょう。

割り切れたならnは３の倍数ですから、ある整数kを使って、n＝3k、と表すことができます。このとき、、、
nの２乗＝(3k)の２乗＝9kの２乗
これを３で割ると、、、
9kの２乗÷3＝3余り0
つまりnの２乗を３で割ると余りは0となります。

nを３で割ったときの余りが１ならnは３の倍数＋１ですから、ある整数kを使って、n＝3k+1、と表すことができます。このとき、、、
nの２乗＝(3k+1)の２乗＝9k+6k+1
これを３で割ると、、、
(9k+6k+1)÷3＝(3kの２乗+2k)余り1
つまり、nの２乗を３で割ると余りは1となります。

余りが2ならnは３の倍数＋２ですから、ある整数kを使って、n＝3k+2、と表すことができます。このとき、、、
nの２乗＝(3k+2)の２乗＝9kの２乗+12k+4
これを３で割ると、、、
(9kの２乗+12k+4)÷3＝(3kの２乗+4k+1)余り1
つまり、nの２乗を３で割ると余りは1となります。

よってnの２乗を３で割ったときの余りは0か１になり、２が余ることはあり得ません。