2次関数

aを正の実数とし、f(x)=x^2-2ax+2a^2-3a がある。

放物線y=f(x)がx軸の0≦x≦a+1の部分と共有点を持つようなaの範囲を求めよ

という問題で下の解答があっているかどうかを教え、間違っていたら直して下さい。
もっと簡単な別解があれば知りたいです。

質問者からの補足コメント

• 高校で　共有点は接点と交点を合わせたものであると習いました。したがって、②の解釈だと思います。
  
  回答者様の「0≦x≦a+1 の範囲で f(x)≦0 」は
  下図の可能性があるため間違っていると思います。

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/06/07 22:04

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2025/06/10 21:04

f(x)=x^2-2ax+2a^2-3a=(x-a)^2 +a(a-3)

f(0)≧0　かつ　D/4 >0
f(a+1)≧0 かつ　D/4 >0

D/4=0　かつ　0<軸<a+1
f(0)>0 かつ　D/4=0
f(a+1)>0 かつ　D/4=0

別解としては参考に!!!
微分して
f'(x)=2x-2a=2(x-a)
f'(x)=0　のとき　x=a の時極小値である!!!

簡単な別解はこの問題に関してはないでしょう!!!

この回答へのお礼

f(0)>0かつD/4＝0
f(a +1)>0かつD/4＝0 は不要な気がします。

あと極小値はどういうことかわからないけどありがとうございます

お礼日時：2025/06/19 19:28

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2025/06/09 13:17

NO1 です。

書き方が 悪かったようです。
お詫びします。
「 0≦x≦a+1 の範囲で f(x)≦0」の逆でなければ 成りませんね。
あなたが書いた グラフに様に 0≦x≦a+1 以外の範囲において
f(x)≦0 があっては ダメですよね。
つまり 「x<0 及び a+1<x の範囲で f(x)>0 」となりますね。
判別式より 計算が楽になるのでは。

この回答へのお礼

x<0 及び a+1<x の範囲で f(x)>0
でも、D <0の時はあるのでは？

お礼日時：2025/06/19 19:30

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/06/08 04:28

y=f(x)=x^2-2ax+2a^2-3a=(x-a)^2+a(a-3)

は
軸
x=a
の
下に凸の放物線だから
y=f(x)がx軸と共有点を持つためには
f(a)≦0
であればよい

f(0)≧0≧f(a) ならば
中間値の定理から
f(x)=0
0≦x≦a
となるxが存在するから
y=f(x)がx軸と0≦x≦aで共有点を持つ

f(a)≦0≦f(a+1) ならば
中間値の定理から
f(x)=0
a≦x≦a+1
となるxが存在するから
y=f(x)がx軸とa≦x≦a+1で共有点を持つ

f(a)=a(a-3)
だから
D/4=-a(a-3)=-f(a)
になる

この回答へのお礼

なるほど。ax^2+bx+c=0 のときD=b^2-2ab で考えていました。

mtrajcp様の判別式の考え方だと3次式以上にも使えそうですね。

お礼日時：2025/06/08 10:11

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/06/07 15:47

あっている

この回答へのお礼

すごい　この解答簡潔でいいですね。

1点わからないことがあります。判別式が-f(a)なのはなぜですか？

お礼日時：2025/06/07 22:20

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2025/06/07 14:41

f(x)=x²-2ax+2a²-3a　をグラフで表すと、下に凸な 放物線ですね。

「x軸の0≦x≦a+1の部分と共有点を持つ」の「共通点」の意味は、
①「0≦x≦a+1 の部分で x軸と接する」と言う意味？
②「f(x)=0 の解が 2つとも 0≦x≦a+1 の範囲にあるという意味？
① の場合なら f(0)=0, f((a+1)=0 から 計算できるのでは。
② の場合なら 0≦x≦a+1 の範囲で f(x)≦0 から 計算で良いでしょう。