(x^2 -y)y'=xy-1

(x^2 -y)y'=xy-1

という微分方程式を解く問題で

y=-x-1
とすると

(x^2 -y)y'
={x^2 -(-x-1)}(-1)
=-(x^2 +x+1)
=-x^2 -x-1
=x(-x-1)-1
=xy-1

だから

y=-x-1

が解の1つになることがわかるのですが
一般解がわかりません

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2025/06/09 07:46

どう攻めたもんだかわからんときには、たかが2変数なんだから数値的に眺めてみると何かヒントが得られるかもしれない。

というわけでΔ(x,y) = (x^2 - y, xy - 1) をベクトル場としてプロットしたのが添付図。左図は|x|＜3, |y|＜3の範囲、右図は0＜x＜2, 0＜y＜2の範囲です。
　(1,1)は特異点（湧き出し）。y=x^2の曲線（赤）上ではベクトルがタテ向き、xy=1の曲線（緑）上ではヨコ向きになる、ということが（式から直ちにわかるわけだけどグラフ上でも）確認できます。
　で「ベクトルをたどって描ける曲線」ならどれでも解だけれども、黒の破線はご質問にある解を示す。この線の右上側と左下側では様子がだいぶ違うな、とわかります。

この回答へのお礼

お礼日時：2025/06/09 19:03