ノルム空間でノルムが連続であることについて

関数解析の本で、
（X,|‣|）がノルム空間であるとき、三角不等式から、
|x|=|(x-y)+y|≦|x－y|+|y|
|y|=|(y-x)+x|≦|y-x|+|x|
であることから、｜|x|-|y|｜≦|x-y| 左辺は絶対値　　　・・・・★
ここまでは分かるのですが、「なのでノルムは連続関数である」と書いていました。
★から「ノルムが連続」はなぜ言えるのでしょうか？

No.9 回答者： rinkun 回答日時： 2025/06/15 08:15

ノルム空間なら当然にその位相はノルムから誘導される位相でしょうね。

それで
|N(x)-N(y)|≦N(x-y)
なので、ノルムNはリプシッツ連続(リプシッツ係数K=1)で、当然に連続です。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/06/12 17:29

脱字あり：

∀ε>0, ∃δ, D(x,a)≦δ ⇒ d(N(x),N(a))≦ε.
が示せてるというわけ。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/06/12 17:28

あれ？ ノルムが連続かどうかというとき、

X の位相はそのノルム自身が導く距離位相で
って話なの？
だったら、★だけで話は終わりじゃん。
ああ、だから出典は「なので」だけで済ませたのか。

★は、それでも読みにくい式だが、
実数の距離関数を d、問題のノルム N が導く X の距離関数を D と書けば
d(N(x),N(a)) ≦ D(x,a) と書けるから、
これ自体がεδ論法の式だ。

所与の正数 ε に対して δ ≦ ε になるように正数 δ を取れば、
∀ε>0, ∃δ, D(x,a)≦δ ⇒ d(N(x),N(a)).
が示せてるというわけ。

この回答へのお礼

記号の使い方って大切なんですね。
勉強になりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2025/06/12 23:11

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/06/12 15:57

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB …
に
書いてある通り

(V, ‖ • ‖) がノルム空間ならば、
ノルム ‖ • ‖ は距離函数（および距離の概念）を誘導し、
V 上の位相を定義する。
この距離函数は自然な仕方で定義される
（すなわち、二つのベクトル u, v の絶対差 ‖ u − v ‖ で与えられる）。
この位相は、ちょうど ‖ • ‖ を連続にする最弱の位相であり、
以下の性質

ベクトルの加法 +: V × V → V はこの位相に関して二変数の連続写像である（これは三角不等式から直接に従う）。
スカラー乗法 ⋅: K × V → V はこの位相に関して二変数の連続写像である（これは三角不等式とノルムの斉次性から従う）。
ここに K は V の係数体とする。

が成り立つという意味で V の線型構造とも両立する。

この回答へのお礼

分かりやすい解説ありがとうございます。

お礼日時：2025/06/12 23:09

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/06/12 10:02

＞ a∈U(a,ε)⊂G となるε>0が存在するとき

＞ GはXの開集合であるという

ダウト。
その定義では、a∈G であることしか言ってない。
例えば、X=R のとき、閉区間 [-1,1] が 0 の開近傍になってしまう。
何が開集合であるかは、位相空間で一番本質的なこと
なので、ここを間違ってはいけない。

＞ R の任意の開集合 V に対して
＞ f^{-1}(V)も X の開集合になるとき
＞ fは連続であるという

この連続性の定義は、合ってる。

それ以降のだからだからの列は、
証明の内容以前に日本語の文章としてあまりにも読みにくく、
正直何言ってんのか判らないのだが、おそらく、

上記の定義に基づいて連続性を示そうとするときに
X の位相として ||x|| による距離位相を採用してしまった
ことに間違いがある。

||x|| が連続か連続でないか考えようというのなら、
それ以前に X には位相が入っていなければ意味がない。
そして、その位相が ||x|| 距離位相と同値であるか否かは
||x|| の連続性そのものなのだ。

No.4 は、ただの循環論である。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/06/11 09:41

(X,||・||)がノルム空間であるとき

a∈X
ε>0に対して
U(a,ε)={x;||x-a||<ε}
を
aのε近傍という

X⊃G∋a に対して
a∈U(a,ε)⊂G となるε>0が存在するとき
GはXの開集合であるという

R=(全実数の集合)の
任意の開集合
V
に対して
f^{-1}(V)
も
Xの開集合になるとき
fは連続であるという

V
をRの開集合

f(x)=||x||

a∈f^{-1}(V)
とすると

f(a)∈V
だから
f(a)∈{y;|y-f(a)|<ε}⊂V
となるε>0がある

任意の
x∈U(a,ε)={x;||x-a||<ε}
に
対して

|f(x)-f(a)|=|||x||-||a|||≦||x-a||<ε
だから
f(x)∈{y;|y-f(a)|<ε}⊂V
だから
x∈f^{-1}(V)
だから

a∈U(a,ε)⊂f^{-1}(V)
だから
f^{-1}(V)はXの開集合である
から

fは連続である

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2025/06/12 23:10

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/06/11 08:36

ノルムと絶対値を似たような記号で書くと、★のような読みにくい式になる。

ノルムを |x| でなく N(x) と書き、| | は実数の絶対値の意味で使えば、
★は |N(x) - N(y)| ≦ N(x-y) と書ける。　…☆
これが、|N(x) - N(y)| ≦ |x-y| なら No.2 のように直ちに解決だが、☆は違う。

☆で y→x の極限を取ると 0 ≦ lim[y→x] |N(x) - N(y)| ≦ lim[h→0] N(h),
h = x - y が出るが、ここからハサミウチで lim[y→x] N(y) = N(x) を言うには
x = 0 における N(x) の連続性が別途必要になる。

lim[h→0] N(h) = 0 は、三角不等式よりもむしろノルムの斉次性
実数 a に対して N(ax) = |a| N(x) のほうから出る。
この式で a→0 の極限を取れば、lim[h→0] N(h) = 0, h = ax となる。

実はここで、絶対値 |a| の a = 0 における連続性 lim[a→0] |a| = 0 も必要だが、
絶対値については -a ≦ |a| ≦ a が使えるので
この式で a→0 の極限を取れば、ハサミウチから lim[a→0] |a| = 0 が言える。

この回答へのお礼

！
分かりやすい解説ありがとうございます。

お礼日時：2025/06/12 23:09

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/06/11 05:37

任意のε>0に対して

あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<ε
となる
とき
関数fはx=aで連続という

f(x)=|x|
とすると

任意のε>0に対して
δ=εとすると
|x-a|<δ　となる任意のxに対して

|f(x)-f(a)|=||x|-|a||≦|x-a|<δ=ε

となるから

関数f(x)=|x|はx=aで連続

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2025/06/12 23:08

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2025/06/11 00:36

★だけでは言えんよね。