二重和

Σ1/n^2はπ^2/6と正確な値がしられていますがΣ1/(n^4+m^4)は正確な値がもとめられますか？ただし和はn,mが整数で(n,m)≠(0,0)とします。

質問者からの補足コメント

• 上ですぐに思いつくと言ったのはΣ1/(n^4+m^4)のかたちのことでeisenstein級数のことではないです。言葉足らずですいません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/03/30 16:16

• 近似的な値:
  まずmで和をとります。岩波数学公式IIにその和がそのまま載っているので
  求めたい二重和として以下の形が簡単に求まります。
  √2*π*ζ(3)+2*ζ(4)+ΣR(n)~7.376…
  このΣはnについての和で1からとります。ζはゼータ関数です。R(n)は
  R(n)= √2*π*(√2*sin(π/4+√2*π*n)ーe^(-√2*π*n))/(cosh(√2*π*n)-cos(√2*π*n))
  です。ΣR(n)は収束が速いので上の値ぐらいだと1項目で決まってしまいます。
  ΣR(n)~-0.129で負の値です。

    補足日時：2025/03/31 00:18

• 上の補足のR(n)をn^3で割った形
  R(n)= √2*π*(√2*sin(π/4+√2*π*n)-e^(-√2*π*n))/((cosh(√2*π*n)-cos(√2*π*n))*n^3)
  に訂正します。

    補足日時：2025/04/01 20:27

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/01 20:57

ま、導出を書かない公式集には、数学書としての意味は無い

って話ではあるよね。面白い話題だから、少し追いかけてみる
つもり。

この回答へのお礼

何かわかりましたらお知らせください。

お礼日時：2025/04/01 21:05

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/01 08:57

＞ √2*π*ζ(3)+2*ζ(4)+ΣR(n)

2*ζ(4) は n=0 と m=0 上での和ですよね。
√2*π*ζ(3) は、何だろう？

この回答へのお礼

数学公式に載ってるのは
Σ1/(x^4+n^4)=√2*π*f(x)/(4*x^3)-1/(2*x^4)
和はnについて1からとり、
f(x)=(sinh(√2*πx)+sin(√2*πx))/(cosh(√2*πx)-cos(√2*πx))
です。xが大きくなるとf(x)->1ですから、1を足し引きして
f(x)=1+(-1+f(x))としました。
1項目からζ(3)がでてきて２項目からΣR(n)がでます。
補足に書いたR(n)は間違いました。n^3で割ってください。

お礼日時：2025/04/01 20:29

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/31 09:00

近似の話なの？

だったら、奇数ζが出てくるような変形をしなくても、
Σ[s=1→∞] Σ[|n|+|m|=s] 1/(n^4+m^4) を
s の有限項で打ち切っても、よい近似が出てこない？

この回答へのお礼

補足はご参考までに。

お礼日時：2025/03/31 13:25

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/29 13:35

誰も手を出さないな。

難しいね。
収束することは解るんだけど...

一瞬、実アイゼンシュタイン級数 E(i,2) に帰着できるかと思ったんだけど、
なんかうまくいかん。

この回答へのお礼

すぐ思いつきそうなことなのですでに知られてると思い検索もしてみたのですがそれらしいのが見つかりません。

お礼日時：2025/03/29 17:32