巡回置換と交代群について

巡回置換と交代群について、以下質問させてください。

交代群の定義は置換の符号sgn:Sₙ→{±1}
による核Ker sgnと認識しています。
なので交代群に属する置換は置換の符号により1になる(偶置換)と分かります。

これとは別に交代群(A₂₀とします)の任意の元は長さ3の巡回置換より生成されるという定理があると思うのですが、これが良く分からず、、
例えば長さ4の巡回置換(これは奇置換かつ長さ3の巡回置換では表せないですよね…？？)として(1,2,3,4), (13,14,15,16)
∈S₂₀があった時、
(1,2,3,4), (13,14,15,16)∉A₂₀かと思うのですが、その合成(1,2,3,4)(13,14,15,16)
はsgn(1,2,3,4)(13,14,15,16)
=sgn(1,2,3,4)sgn(13,14,15,16)
=(-1)×(-1)=1なのでA₂₀の元になります。

どこか計算や認識間違っていますでしょうか？
ご教授いただけますと幸いです。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/06/23 13:04

#1間違えました訂正です

交代群の任意の元は長さ3の巡回置換より生成されます

(1,2,3,4)(13,14,15,16)=(1,2,3)(3,4,13)(4,13,14)(14,15,16)

左辺は交代群の元
右辺は長さ3の巡回置換です

(1,2)(3,4)=(1,2,3)(2,3,4)

左辺は交代群の元
右辺は長さ3の巡回置換です

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2025/06/22 17:01

(1, 2, 3, 4)が長さ3の巡回群の積で表せない

(13, 14, 15, 16)が長さ3の巡回群の積で表せない
事は正しいけれども、この事から
「(1, 2, 3, 4)(13, 14, 15. 16) が長さ3の巡回群の積で表せない」事は導出できないし、実際表す事ができます。

具体的に考えれば見つけられるような物だと思いますが、もしも見つけられないのであれば、(1 2 13)のような1〜4と13〜16をごちゃ混ぜにする巡回置換を無意識に除外している可能性が高そうかな。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/06/22 16:57

「長さ3の巡回置換では表せない」2つの巡回置換があったとして, それらの積が「長さ3の巡回置換では表せない」という保証はどこにある

のでしょうか?

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/06/22 16:44

何も間違っていないが、何が疑問なのかサッパリ判らない。

交代群の元が偶置換だというのは、合ってる。
交代群の元が長さ3の巡回置換の積で表せるというのも、合ってる。
長さ4の巡回置換が長さ3の巡回置換の積で表せないというのも、合ってる。
(1,2,3,4)と(13,14,15,16)が奇置換で
積(1,2,3,4)(13,14,15,16)が偶置換だというのも、合ってる。
どこにも矛盾は無い。
ただ、奇置換と奇置換の積が偶置換になっただけで、アタリマエの話だ。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/06/22 16:28

3次交代群の任意の元は長さ3の巡回置換より生成されるけれども

4次(以上の)交代群の任意の元は長さ3の巡回置換より生成されません

(1,2)(3,4)

は4次交代群の元だけれども長さ3の巡回置換ではありません