n^3=4+p^2

n^3=4+p^2
nは自然数
pは素数
となるような
すべての
(n,p)
を求める
問題で

n=2のとき
2^3=8=4+4=4+2^2
だから
p=2

n=5のとき
5^3=125=4+121=4+11^2
だから
p=11
と考えました

(n,p)=(2,2)
(n,p)=(5,11)
の他にあるでしょうか?

質問者からの補足コメント

• 失礼しました
  高木、初等整数論講義のイデアルの類別の§p305
  に答えがみつかりましたのでもうよいです
  
  [問題2]
  x²+4=y³　の整数解x,yは
  x²=4,y³=8、またはx²=121、y³=125
  である
  [解]
  K(i)において
  
  (x+2i)(x-2i)=y³
  
  x+2i=(a+bi)³
  
  ∴
  (3a²-b²)b=2
  から
  (b=1,a=±1)または(b=-2,a=±1)
  したがって
  x=a(a²-3b²)=±2
  または
  x=a(a²-3b²)=±11

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/06/22 20:14

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2025/06/22 12:22

結論を言うと

ｘ²＋4＝ｙ³　の整数解ｘ、ｙは
ｘ²＝4、ｙ³＝8、またはｘ²＝121、ｙ³＝125
以外にありません。
（高木、初等整数論講義のイデアルの類別の§参照）
したがって本問の解としてあなたのあげている以外にない、
ただわたしにはこれを初等的に解くのは無理そうです（笑）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
「
高木、初等整数論講義のイデアルの類別の§
」
から
なぜ
x²+4=y³　の整数解x,yは
x²=4,y³=8、またはx²=121、y³=125
以外にない
といえるのでしょうか?

お礼日時：2025/06/22 16:37

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2025/06/22 21:36

あぁ、ごめんなさい：

当該§に同じ問題と解説がのってると言えばよかったね。
言葉足らずでした、
こちらこそ失敬

この回答へのお礼

お礼日時：2025/06/23 05:55