方程式で２

方程式で
a,b,c,d,A,B,C,D　は１か ー１です。

（a+b+c+d)（A+B+C+D)-2(aA+bB+cC+dD)＝０
となる組み合わせはありました（ありがとうございました）。

では、a,b,c,d,A,B,C,Dをどのようにとっても
（a+b+c+d)（A+B+C+D)-2aA≠０
i.e　左辺は0にはなならない

は示せるでしょうか？

本音としては、
（a+b+c+d)（A+B+C+D) - 2 Σ(a～dのうちの一つ)・(A～Dのうちの一つ）≠０
Σは組み合わせのいくつか　

となる組み合わせを見つけたいです。
よろしくお願いいたします。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2025/06/24 15:21

No.1さんの論法を借りれば

(a～dのうちの一つ)・(A～Dのうちの一つ)≡1（mod２）だから
Σ(a～dのうちの一つ)・(A～Dのうちの一つ）のΣの項数が奇数なら
Σ(a～dのうちの一つ)・(A～Dのうちの一つ)≡1（mod２）だから
－2Σ(a～dのうちの一つ)・(A～Dのうちの一つ)≡2（mod４）
一方で
（a+b+c+d)（A+B+C+D)≡0（mod４）だから
（a+b+c+d)（A+B+C+D)
- 2 Σ(a～dのうちの一つ)・(A～Dのうちの一つ)≡2（mod４）
つまりΣの項数が奇数なら
（a+b+c+d)（A+B+C+D)
- 2 Σ(a～dのうちの一つ)・(A～Dのうちの一つ)は決して0にならない。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2025/06/23 14:17

（a+b+c+d)（A+B+C+D)-2aA≠０ 。

上記の式は 「a,b,c,d,A,B,C,D　は１か ー１」の条件下では、
2aA の値は 2 か -2 のどちらかです。
従って (a+b+c+d)+(A+B+C+D) の値が -2 か 2 でなければ、
上記の式が 成立します。
(a+b+c+d) と (A+B+C+D) の値は、-4, -2, 0, 2, 4 のいずれかです。
シラミつぶしに カウントしても 大した手間には ならない筈です。
(a+b+c+d)(A+B+C+D) の値は、0, ±4, ±8, ±16 のいずれかです。
2aA の値は ±2 ですから、全ての場合で 成り立ちます。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/06/23 05:50

a=b=c=d=A=B=C=D=1(mod2)だから

a+b+c+d=4=0(mod2)
A+B+C+D=4=0(mod2)
だから
(a+b+c+d)(A+B+C+D)=0(mod4)

aA=1(mod2)

2aA=2(mod4)

(a+b+c+d)(A+B+C+D)-2aA=2(mod4)
だから

(a+b+c+d)(A+B+C+D)-2aA≠0