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数Aです。
X+Y+Z=10を満たす、次のようなX、Y、Zはの組は何通りあるか。
(1)X、Y、Zは0以上の整数
これは10個の○と2本の棒をひいて、66通りです。
(2)X、Y、Zは自然数
これも同じ図を使った解き方で36通り。
同じように解く問題なのにどうして答えが違うのでしょうか。解き方の公式は分かるのですが、なぜこうなるか2つとも分かりません。教えてください。

A 回答 (5件)

X+Y+Z=10をみたす、0以上の整数の組の例は


(x,y,z)=(0,0,10)や(1,2,7)などです
仮にこの数値(整数)を,x,y,zそれぞれがもらえるアメの個数だとでも考えてください
このとき
□(xの箱)|□(yの箱)|□(zの箱)
というように、x、y、zがもらうあめ玉「●」を入れておく箱「□」と、仕切り「|」をイメージします
すると、(0,0,10)というのは
||●●●●●●●●●● という状態です
仕切りの左がxの箱(中身のアメ0こ)
仕切りの中央がyの箱(中身のアメ0こ)
仕切りの右がzの箱(中身のアメ10こ)
ということを表しています。(ただし、面倒なので箱:□は省略です)

同じ要領で(1,2,7)をあらわすと
●|●●|●●●●●●●
です
・・・仕切りの左がxの箱(中身のアメ1こ)
仕切りの中央がyの箱(中身のアメ2こ)
仕切りの右がzの箱(中身のアメ7こ)

当然ながらアメの配り方は、上の二例以外にもあります。
けれども、10この●と2個の仕切り「|」の位置をかえることでアメの配分の仕方のすべてを網羅することが出来るのです。言い換えると10+2=12か所から仕切りを置く場所2か所を任意に選べば、アメの配分の仕方のすべてを網羅することが出来るといえます。
例 12か所のうち左から2番目と3番目の場所に仕切りを置けば(残りの場所には自動的に●を置くことになるので)
●||●●●●●●●●●
となり、これは飴玉をもらう数が(x,y,z)=(1,0,9)という事になる
例② 12か所のうち左から6番目と9番目の場所に仕切りを置けば(残りの場所には自動的に●を置くことになるので)
●●●●●|●●|●●●
となり、これは飴玉をもらう数が(x,y,z)=(5,2,3)という事になる
このように、適当に「|」の位置を決めれば飴玉の配分が自動的に決まるのです。

この場合異なる12か所から2か所を選んで「|」を置く方法は12C2=12x11/2=66通りあるので
飴玉の配分の仕方も,12C2=66通りあることになります。
問題文に立ち戻れば、ここまでに出てきた飴玉の配分、(0,0,10)、(1,2,7),(1,0,9),(5,2,3)などは、
X+Y+Z=10(x、y、zはお以上の整数)を満たす、X、Y、Zの組と考えることもできるので
この問題の答えも、飴玉と全く同じ考え方で12C2=66通りです。

次に(2)
(1)との違いはx、y、zに0が含まれるかどうかです
(2)のx、y、zは自然数(1以上の整数)ですから、
上に述べた「12か所に、仕切り2個を適当に置く」という方法ではうまくいきません。
というのも、仕切りを適当に置くと 上に登場した例のように
「●||●●●●●●●●●→(x,y,z)=(1,0,9)」
というような、0となる文字が出来てしまう事があるからです
そこで、これを防ぐためにあらかじめx、y、zに1個ずつ飴玉を配っておきます
そうすれば、仕切りをどのように置いたとしても必ず、x、y、zの飴玉は1こ以上(x、y、zは自然数)となるからです
3個は最初に配ってしまうので、残りは10-3=7個です
これを、仕切りと●の考え方を使って配分します
飴玉7個と仕切り2こなので、合計9か所から、仕切りを置く2か所を選ぶ と言う考え方になります
→飴玉9個を(0こもらう文字があっても良いとして)分配する方法は9C2=36通り
この36通りの中には
●●|●|●●●● →(x,y,z)=(2,1,4) や
●●●●|●●●| →(x,y,z)=(4,3,0)などが含まれます
あらかじめ配っておいた飴玉も加えれば、
上は●●+●|●+●|●●●●+● →(x,y,z)=(3,2,5)
下は ●●●●+●|●●●+●|0+● →(x,y,z)=(5,4,1) ←←←これがあらかじめ1個ずつ飴玉を配っておいた
                              効果! 途中経過では(4,3,0)でz=0であったが
                              +1するので
                              z=0(0となる文字)を防ぐことが出来ている。
となり、飴玉の個数をx,y,zの整数(自然数)値と考えれば
(x,y,z)=(3,2,5)や、(x,y,z)=(5,4,1)など
X+Y+Z=10を満たす、自然数X、Y、Zの組が9C2=36通りあると、言い換えることが出来るのです
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>同じように解く問題なのにどうして答えが違うのでしょうか。



どうして答えが同じだと思うんだろうね?
一例を挙げてみても、
X = 0, Y = 0, Z = 10 は (1) の条件を満たし (2) の条件を満たさない。
違う問題の答えが違うのは、当然だろうに。

○を並べて棒で区切るというのは、受験参考書では定番のテクニック
ではあるが、それに馴染めなければ、No.3 のように普通に考えたらいい。
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場合分けで考えてみましょう。



(1) X,Y,Zは0以上の整数
X=0 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは
(0,10),(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1),(10,0)
の11通り
X=1 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは
(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(7,2),(8,1),(9,0)
の10通り
X=2 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは
(0,8),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1),(8,0)
の9通り
同様に考えていくと、
X=3 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは、8通り
X=4 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは、7通り
X=5 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは、6通り
X=6 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは、5通り
X=7 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは、4通り
X=8 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは、3通り
X=9 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは、2通り
X=10 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは、1通り
よって、これらを足し合わせると
11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =66通り
となります。

(2) X,Y,Zは自然数
X=1 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは
(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(7,2),(8,1)
の8通り
X=2 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは
(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)
の7通り
同様に考えて、
X=3 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは、6通り
X=4 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは、5通り
X=5 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは、4通り
X=6 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは、3通り
X=7 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは、2通り
X=8 のとき、Y,Zのとり得る組み合わせは、1通り
よって、これらを足し合わせると
8+7+6+5+4+3+2+1 =36通り
となります。


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二つの違いがわかりますか?
0を含むときは、X=0 から X=10 の11個の場合分けを考える必要がありますが
0を含まないときは、X=1 から X=8 までの8個の場合分けに変わります。

さて、上で解いた考え方から
組み合わせの数は、1から場合分けの個数までを足し合わせたものと
同じだと気づけたはずです。

したがって、
1からnまでの和の公式が
 n(n+1)/2
と表させることから
(1)では、n=11
(2)では、n=8   #場合分けの数が3つ減っているから、11-3=8
を代入することによって解答が求まります。


今回の問題では、
0を含めるかどうかで場合分けの数が変化するため、
同じように和の公式を使えたとしても答えが変わったのです。
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(1) は x, y, z は 0~10 までの10個 の数字が可能ですから、 


  重複順列の考え方で、10個の○と2本の棒の並べ方になり
  12x11÷2=66 となります。
(2) は x, y, z は 自然数ですから、0 になることが出来ません。
  従って、x, y, z に それぞれ 1 を与えて
   残りの 7個の〇と2本の棒の並べ方になり
  9x8÷2=36 となります。

公式は 覚えるものではなく、理解するものだと 思います。
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(1)では、x,y,zは0でも良いということなので、2本の棒を引く位置が10個の○の外側にきても良いのですが、(2)では、x,y,zは0にはできないので、2本の棒を引く位置が10個の○の間の9か所になります。

そういうことでで、違ってきます。
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