高校数学A 場合の数特定の二人を同じ部屋に入れる分け方についての質問です！

Question

問題
４人用と５人用の部屋がそれぞれ１つずつある。９人を４人と５人に分けて部屋割りをする。ただし、９人の中の特定の二人は同じ部屋に入るものとする。このとき、分け方は全部で何通りあるか？

自分はこの問題を解く際に、９人をabcdefghiとして、特定の二人を９C2で求めてから場合分けをして解くという方針で考えました。しかし解答を見ると、この操作は不要であることが分かったのですが、その理由が分からなかったので教えて下さい。
恐らくこの疑問の解決の糸口は、abcd efghiと分けた時に、abを特定の二人とするのか、それともcdを特定の二人とするのか、、、を同一視するか否かだと思います。自分はこれを本文からどのように読み解けばいいのか分かりませんでした。
因みに答えは５６通りです。
ご回答宜しくお願いします！<(_ _)>

ORUKA1951 · Accepted Answer

これは、計算ではなく、「９人の中の特定の二人は同じ部屋に入るものとする。」をどう解釈するかと言う国語の問題ですね。
　これは「特定の」と言う言葉が決め手になります。もし、あなたのように「特定の二人を９C2で求めてから」と不整合です。もし、そうとくなら質問は「任意の二人を同じ部屋にいれると」という質問になるはずです。
　★特定のと言うときは、すでにどれかが決まっているという意味です。

tsuyoshi2004 · Answer

＃１です。
abcdefghiの９人のうち、
abを特定の二人とした場合の組み合わせは５６通りです。
では、acを特定した二人とした場合の組み合わせも５６通りです。
以下、ad,ae,af・・・・・gi,gh,hiのどの二人を特定の二人としても５６通りです。

では、一方で今度は特定の二人を同じ部屋にしない組み合わせを考えて見ます。
仮にabを特定の二人とすると・・・・
必ずabは別の部屋なので、
aが４人部屋だとすると、残りの３人をcdefghiの７人から選ぶので、
７Ｃ３＝３５通り
bが４人部屋だとすると、残りの３人をcdefghiの７人から選ぶので、
７Ｃ３＝３５通り
で、abを別の部屋にした組み合わせは７０通りになります。
（当然、acが別の部屋になる組み合わせも７０通り、adが別の部屋になる組み合わせも７０通り、以下どの二人同士をとっても別々になる組み合わせはすべて７０通りです。）

ではでは、特定の二人などなく単純に９人を４人と５人に分けるのは
９Ｃ４＝１２６通りです。

当然、abの二人は同室か別々の部屋の二通りしかないので、
同室の場合が５６通り、別室の場合が７０通りで合計は１２６通りです。
（これも当然ながら、どの二人同士であっても、同室になるのが５６通り、別室になるのが７０通りです。）

質問者さんがどのように考えたのかわかりませんが、どのような条件をつけた分け方であっても
１２６通りを越えることはありえないのは明白でしょう。

余談ですが、このような問題を考えるときに考えづらいときは、人数を減らして実際に組み合わせを書き出して考えるというのも一つの方法です。
たとえば、abcdeの５人を２人部屋と３人部屋に分けるとします。その組み合わせは
ab-cde,ac-bde,ad-bce,ae-bcd,bc-ade,bd-ace,be-acd,cd-abe,ce-abd,de-abc
の１０通りです。
このうちの誰か二人に注目してみて、たとえばceで考えると同室の組み合わせは
ab-cde,ad-cde,bd-ace,ce-abdの４通り、
別室になる組み合わせは
ac-bde,ae-bcd,bc-ade,be-acd,cd-abe,de-abcの６通りでです。
これを計算で求めるとすると・・・
全ての組み合わせは５ｃ２
同室になる組み合わせは、
ceが二人部屋であれば残りは三人部屋なので一通り（あえて計算するならば、３Ｃ３＝３Ｃ０＝１）と
ceが３人部屋だと残り３人から一人を追加して、３Ｃ１＝３
で合計４通り
別室になる組み合わせは、
ｃが二人部屋だと残りの３人から一人を選ぶので、３Ｃ１＝３
eが二人部屋の場合も同様に３Ｃ１＝３
で合計６通りです。

ここまでをはっきりと理解すれば、９人を４人と５人に分ける場合も同様です。

yuji3690 · Answer

省略してもしなくても、結果は約分されて同じになるので、自分が理解しやすい方法でやるのが一番だとは思いますが、

特定の二人というのは、具体的にAさんとBさんでもCさんとDさんでも誰でも良いのです。
ペアの1人目・ペアの1人目・ソロの1人目～ソロの7人目
という9人が居るわけですね。
メンドイのでペアをAB、ソロをcdefghiとします。

まずペアは同じ部屋にすると決まっているのだから、
「ABが4人部屋」もしくは「ABが5人部屋」のどちらかになります。
ABが4人部屋の場合、c~iの内2人がABと同じ部屋になるので、
7*6/2/1=21通りあります。
ABが5人部屋の場合、c~iの内3人がABと同じ部屋になるので、
7*6*5/3/2/1=35通りあります。
21+35=56通りです。

仮にACがペアだったとします。
その場合はAbが同じ部屋になる必要は無いので、やはり同様の計算を行い、
56通りとなります。

何故特定のペアが何通りあるかを計算しなくていいのか分かりにくいですか？
では、別の方法で考えてみましょう。
9人の部屋の割り振りは全部で
9*8*7*6/4/3/2/1=126通りあります。
（9人の内4人部屋に入る人の組み合わせを計算してますよ）
この内とあるペアが同じ部屋になっているものは、
ペアの1人目が4人部屋に居る確率4/9
ペアの2人目も4人部屋に居る確率4/9*3/8=1/6
ペアの1人目が5人部屋に居る確率5/9
ペアの2人目も5人部屋に居る確率5/9*4/8=5/18
1/6+5/18=8/18=4/9
126*4/9=56通りです。
この時のペアは任意の2人であるので、組み合わせのパターンを考える必要はありませんよね？

abcdefghiと名前を付けた事によって、逆にペアの組み合わせの数を考えなければいけないと勘違いしてしまったのでしょう。

tsuyoshi2004 · Answer

どちらかといえば、日本語の読解力の問題では？
「特定の二人」というのは既に決められている二人です。
問題を丁寧に書けば、
「ＡＢＣＤＥＦＧＨＩの９人のうち、ＡＢの二人は必ず同室として４人部屋と５人部屋に分ける分け方は何通りか？」ということです。

回答とすれば、
自分であれば、この特定の二人を合わせてＡ’として残りをＣＤＥＦＧＨＩの７人とします。
そうすると・・・・
４人部屋にＡ’（２人）が入るとすると残りは２人なので、７Ｃ２＝２１通り
５人部屋にＡ’（２人）が入るとすると残りは３人なので、７Ｃ３＝３５通り
合わせて５６通り
と考えます。

高校数学A 場合の数 特定の二人を同じ部屋に入れる分け方についての質問です！

これは、計算ではなく、「９人の中の特定の二人は同じ部屋に入るものとする。

＃１です。

省略してもしなくても、結果は約分されて同じになるので、自分が理解しやすい方法でやるのが一番だとは思いますが、

どちらかといえば、日本語の読解力の問題では？

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