組み合わせ

１から５までの番号のついた球がそれぞれ１つずつあり、これら５つの球をA、B、C、Dの４つの箱に入れる。それぞれの箱には５つまで球を入れることができるものとする。
(１)少なくとも１つの箱が空であるような球の入れ方
(２)Aの箱とBの箱に同じ個数の球が入るような球の入れ方(ただし、どちらの箱も空の場合は同じ個数とみなす)
を求めよ。

(１)は「少なくとも」ってあるので、すべての組み合わせから、４つ全部に球が入ってる組み合わせを引いたのですが、計算が合いません。詳しく教えていただけると嬉しいです。
(２)は、説明がよくわからないのですが、場合分けをして考えればいいのでしょうか？こちらも詳しく教えていただけると嬉しいです。
お願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： kumipapa 回答日時： 2007/10/28 12:59

＞　(１)は「少なくとも」ってあるので、すべての組み合わせから、４つ全部に球が入ってる組み合わせを引いたのですが

考え方は正しいはずです。「少なくとも～」なら余事象を考えるということですね。ご自分の計算を具体的にちょこっとでも載せてくれると良いのですが。

「少なくとも１個の箱が空」の余事象は、「どの箱も１個以上」ということですから、A,B,C,Dの箱のうち１つには２個の球が、３つには１個の球が入ることになります。
まず、２個の球を入れる箱の選び方は４通り。その箱に入れる２個の玉の選び方は5Ｃ2＝１０通りです。残り３つの箱には、残り３個の球を順に１個づつ入れる入れ方を考えればよいので３！通り。以上より、４×１０×３！＝２４０通り。
球の入れ方の組み合わせ総数は、５個それぞれの球がＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４箇所どれに入るかを選択できるので４^5＝１０２４通りですから、少なくとも１個の箱が空である球の入れ方は１０２４－２４０＝７８４通りではないでしょうか。

（２）は場合分けをして考えてみましょう。
a) Ａ，Ｂ共にゼロ個
５個の球はＣ，Ｄの２箇所に入ることを選択できるので２^5＝３２通り
b) Ａ，Ｂ共に１個
Ａ，Ｂの箱に入れる組み合わせは５×４＝２０通りで、のこり３個の球はＣ，Ｄの２箇所に入ることを選択できるので２^3＝８通り、この２つを掛け合わせて、２０×８＝１６０通り
c) Ａ，Ｂ共に２個
Ａの箱に入れる球の組み合わせは5Ｃ2＝１０通り、Ｂの箱には残り３個の球うち２個が入るので3Ｃ2＝３通り、残り１個の球はＣ，Ｄのうちいずれかなので２通り、これらを掛け合わせて、１０×３×２＝６０通り

a)+b)+c)で３２＋１６０＋６０＝２５２通りではないでしょうか。

計算違いしてるかも。違っていたら答えを教えてください。

No.1 回答者： noname#43438 回答日時： 2007/10/28 12:57

ちょっと面倒な問題なので、

（１）考えは合ってると思う。計算式を書いて欲しい。
（２）「Ａ，Ｂ（０，０）、Ｃ，Ｄのみに（５，０）→（０，５）」→Ａ，Ｂ（２，２）、言う通りの場合分けの総和で出ることは出ると思う。違った解法が正当だというなら、それは思い付かない。