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6人を3つの部屋ABCに入れる方法は何通りあるか?ただし各部屋には少なくとも1人入っている。
この問題の求め方を教えて下さい。解答お待ちしております。

A 回答 (8件)

6人が3つの部屋を自由に選ぶ場合


組み合わせは 3×3×3×3×3×3 = 729 通りになります

しかしながら、これでは空室(0人の部屋)ができてしまいます
どのような場合かというと、部屋の人数が以下のようになる場合で
1部屋のみに集中
 A B C室
 6 0 0 組み合わせ1通り
 上記では部屋Aに集中していますが B C の場合がありますので3倍です
 
1部屋が空室
 5 1 0 組み合わせ6通り (B室に入る人が1番~6番の人まで)
 1 5 0 組み合わせ6通り
 4 2 0 組み合わせ15通り
 2 4 0 組み合わせ15通り
 3 3 0 組み合わせ20通り
 上記では部屋Cが空室ですが A B の場合がありますので3倍です

これくらいなら樹形図を書いても簡単でしょう

よって (1+6+6+15+15+20)×3=189
729-189=540

540通りが解答です
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#4~6はクローン人間6人と言う場合かな?


でも、普通人間は区別できます。
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そうだね

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6人を一列に並べた場合に、それぞれの人の間は、6-1=5ヶ所で、


その5ヶ所の内、2箇所に仕切り(区切り線)を入れれば条件を満たすので、

5C2=5・4/2=10 通り
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中学生ならば、樹形図を使うしか方法がないと思います。



まず、6人を3つに分ける分け方は、(1, 1, 4), (1, 2, 3), (2, 2, 2) の3通りですが、
部屋の A,B,C を区別すると、次のように
(1, 1, 4), (1, 4, 1), (4, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (2, 2, 2) の10通りになります。
それぞれについて、樹形図で確かめれば答えになると思いますよ。

但し、全部を樹形図で確かめるのは大変ですから、A,B,C が変わるだけで、
中身は同じという組み合わせがいくつか出てくる筈ですね。
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6人に背番号をつけて1~6とする


入る部屋を1から順に樹形図で示すと
a-a-a-a-a-a
         \b
         \c
       \b-a
         \b
         \c
       \c-a
         \b
         \c



というようになりますが、すべてを書き出すのはたいへん。
そこで、規則性から計算でこの樹形図が完成すると
3x3x3x3x3x3=729通りになることが分かる。
このうち、a-a-a-a-a-a(全て同じ文字)やa-a-a-a-a-b(1文字だけ使われていない)などは誰も入らない部屋があることになるのでそれを数える。
・樹形図がすべて同じ文字となるものは、a6こ、b6個、C6個のいずれかで3通り
・1文字だけ使われていないものは、2文字から成る樹形図を考えれば良く
○-○-○-○-○-○に2文字入れることを考える
3文字を入れる樹形図は上のようになって、計算は3x3x3x3x3x3であったことから、
同じようにして2文字の場合は2x2x2x2x2x2=64通り
この中には上の場合と同様に、1文字しか使われていない物が2通り含まれているから
○-○-○-○-○-○に2文字を入れる方法は64-2=62通り
→○-○-○-○-○-○にabを入れる方法は62通り
○-○-○-○-○-○にbCを入れる方法も62通り
○-○-○-○-○-○にCAを入れる方法も62通り
合計62X3=186通り・・・これが一番上の樹形図から除外するべきa-a-a-a-a-bなどのような「1文字だけ使われていない」
パターンの数。
つまり、樹形図の729通りのうち3+186=189通りは使わない部屋が存在するという事
従てこれを取り除いた729-189=540通りが答え!^^
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(追加)



見にくいですね。

まず,部屋割りの人数は

A 1  B 2  C 3 / A 1   B 3   C 2 /A 2  B 1  C 3/

A 2   B 3  C 1 / A 3   B 2   C 1 /A 3  B 1  C 2/

A 4  B 1  C 1 / A 1 B 4 C 1/ A 1 B 1 C 4/

A 2  B 2   C 2/

と書いていました。
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*①,②,③は同じ考え方なのでわかれば,②,③は飛ばして読んでもかまいません。




まず,部屋割りの人数は

A 1  B 2  C 3 A 1   B 3   C 2 A 2  B 1  C 3

A 2   B 3  C 1 A 3   B 2   C 1 A 3  B 1  C 2

A 4 B 1 C 1 A 1 B 4 C 1 A 1 B 1 C 4

A 2  B 2   C 2

の10通り。


次に部屋割りの人について

①1,2,3のとき


 1人は6人のうちの1人だから 6通り

 2人は1人を抜いた5人のうちの2人だから 組み合わせの考え方より ₅C₂=5・4/2・1=10

 3人は残り全員だから 1通り


 これらより,1,2,3のときは 6・10・1=60

 これが6通りあるから 60・6=360(通り)


②2,2,2のとき


 2人は6人のうちの2人だから 組み合わせの考え方より ₆C₂=6・5/2・1=15

 2人は2人を抜いた4人のうちの2人だから 組み合わせの考え方より ₄C₂=4・3/2・1=6

 最後の2人は残り全員だから 1通り


 これらより,2,2,2のときは 15・6・1=90

 これが1通りあるから 90・1=90(通り)


③4,1,1のとき


 4人は6人のうちの4人だから 組み合わせの考え方より ₆C₄=6・5・4・3/4・3・2・1=15

 1人は4人を抜いた2人のうちの1人だから 組み合わせの考え方より ₂C₁=2/1=2

 最後の1人は残り全員だから 1通り


 これらより,4,1,1のときは 15・2・1=30

 これが3通りあるから 30・3=90(通り)

①,②,③を足して

360+90+90=540(通り)

だと思います。
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この回答へのお礼

丁寧に書いて下さりありがとうございます。とても、わかり易かったです。

お礼日時:2018/07/20 16:52

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