プロが教えるわが家の防犯対策術!

みなさんおはようございます、質問させてください。
いつもは英語を教えているのですが、急に今日の昼から算数を教えないといけなくなりました。
昨日の晩からこちらの動画でおさらいしていたのですが・・・結局こんな時間になってしまいました。
 並べ方①
https://www.youtube.com/watch?v=9pFtWI3hvRw 並べ方②
https://www.youtube.com/watch?v=2kFHRNn9LDs&ebc= … 組み合わせ方

分からない問題はこちらです。
①1g, 3g, 5g, 7gのおもりが1個ずつあります。これらの重りを1個以上組み合わせて出来る重さは、全部で何通りありますか。

②あかねさん、かずやさん、さとみさん、ただしさん、なつきさんの5人でリレーをします。
あかねさんが2番目に走ることにすると、5人の走る順番は、全部で何通りありますか。

①の解説を見ると、1, 3, 5, 7, 1+3, 1+5, 1+7(3+5), 3+7, 5+7, 1+3+5, 1+3+7, 1+5+7,
3+5+7, 1+3+5+7の14通りとありましたが、コレを見てもさっぱり分かりません。
最初の1, 3, 5, 7や1+7(3+5)の(3+5)って何?って感じです。

※解答
①14通り
②24通り(解説無でした)

素人に1から教えるつもりでお願い致します。
せかして申し訳ないのですが、今日のお昼ごろには教えていただけると大変助かります。
宜しくお願い致します。

A 回答 (5件)

➀ 組み合わせの結果を比較する問題です。



まず、錘は四種類あります。
その錘を組み合わせて出来る重さが、何通りあるか、になります。
なので
[ 錘を一個ずつ使う場合の重さ = 4通り ]
1g、3g、5g、7g

[ 錘を二個ずつ使う場合の重さ = 5通り ]
(1+3=)4g、(1+5=)6g、(1+7=)8g、
(3+5=)8g、(3+7=)10g、
(5+7=)12g
※この中で、8gは同じ重さなので、(1+7)と(3+5)を同一と考える

[ 錘を三個ずつ使う場合の重さ = 4通り ]
(1+3+5=)9g、(1+3+7=)11g、(1+5+7=)13g、(3+5+7=)15g

[ 錘を全部使った場合の重さ = 1通り ]
(1+3+5+7=)16g

なので、全部で14通りになります。

1, 3, 5, 7 とは、錘を一個ずつ使った場合のグラム数です。
1+7(3+5)の(3+5) とは、1+7と3+5のグラム数が同じなので、同一に数えますよ、ということです。
数学的に理解をするやり方は別にありますが、小学生に初めてで教えるには
こういった一つひとつ納得するやり方が適していると思います。

② 単純に何通りあるか、という問題です。

五人の内、一人は順番が決まっています。
つまり、四人がどういう並び順になるか、ということです。
その他の人が順番が入れ替わる場合、どのような組み合わせがあるでしょう、ということですね。
まず四人を分かりやすく、A、B、C、Dとします。
Aの場所が決まれば、あとはBとCとDがどこに並ぶか決めます。
Aが固定出来たら、次にB、C、Dを固定して考えます。
あとは二種類だけなので、固定するまでもなく決まります。

[ あかねさんが二番目に並んだ時の、他の人の並び方 = 6通り ]
A(固定) B C D
A(固定) B D C
A(固定) C B C
A(固定) C D B
A(固定) D B C
A(固定) D C B

こうなりますね。
さて、これを今度はBを固定して行います。
ここは省略しますが、並び方は、各場所の記号が変わるだけで同じ並び方になりますね。
なので、Aを固定したときと同じ、6通りです。
Aさん固定6通り、Bさん固定6通り、Cさん固定6通り、Dさん固定6通り。
合計で24通りになります。

上記説明の場合、Aさんの固定は、Aさんが一番に走る、と言葉にするといいでしょう。

~~~~~~~以下の説明は省いた方が良いかもしれません~~~~~~~
固定を決めると、次の数一つを置いて、残りの種類数が決まります。
その種類数が、二番目の数の配置数になります。
配置数は、配置数の種類のかずだけ存在しますから、2(種類数)×3(配置数)です。
さらに、全体の数は4なので、2×3×4で24となります。
~~~~~~~以上の説明は省いた方が良いかもしれません~~~~~~~

数学的な模範回答とは異なりますが、これも小学生に理解がしやすいように
かつ、解説としてやりやすいように記載したつもりです。

参考までに。
質問等あれば、対応出来ればさせていただきます。
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この回答へのお礼

今晩はアドバイスありがとうございました。
お陰さまで、ちゃんと教えることが出来ました。
また「1, 3, 5, 7 とは、錘を一個ずつ使った場合のグラム数です。」のところが良く分かりました。

お礼日時:2016/03/31 00:51

1,3,5,7


3,5,7
5,7
7
1個だけ、1,3,5,7
2個1,3=4
  1,5=6
  1,7=8
  3,5=8
  3,7=10
  5,7=12
3個1,3,5=9
  1,3,7=11
  1,5,7=13
  3,5,7=15
4個1,3,5,7=16
5×3×2×1=30、前後重複含むため×1/2=15,ただし組み合わせは異なるが結果答えが同じ8が一組。
1番目は、あかね除く4通り、2番目は1通り(あかね)、3番目は5-2通り、4番目は5-3通り5番目は5-4通り
4×1×3×2×1=24
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この回答へのお礼

アドバイスありがとうございました。

お礼日時:2016/04/03 19:21

① それぞれのおもりについて、選択されるかされないかしかない。

いわゆる二進数の問題になります。
 1g 3g 5g 7g
  0  0  0  0※ = 0
  0  0  0  1  = 7 7gだけ選択
  0  0  1  0  = 5 5gだけ選択
  0  0  1  1  = 12 5gと7gを選択
  0  1  0  0  = 3
  0  1  0  1  = 10
  0  1  1  0★ = 8
  0  1  1  1  = 15 5gと7gと3gを選択
  1  0  0  0  = 1
  1  0  0  1★ = 8
  1  0  1  0  = 6
  1  0  1  1  = 13
  1  1  0  0  = 4
  1  1  0  1  = 11
  1  1  1  0  = 9
  1  1  1  1  = 16 すべて選択
  各おもりが独立して取捨の二通りなので、
 (1gの取捨)×(3gの取捨)×(5gの取捨)×(7gの取捨)
=   2  ×   2  ×   2  ×   2
= 16通り
 ここで、「1個以上組み合わせて出来る重さは、全部で何通り」なので、0個選択と、同じ重さになる組み合わせは除外しなければならない。3+5 = 1 + 7 なので、14通り。


②は簡単で、
「あかねさん、かずやさん、さとみさん、ただしさん、なつきさんの5人」
と言っているけど、あかねさんの2番目は決まっているので、残りの4席に誰が座るかだけの問題
問題は、「かずやさん、さとみさん、ただしさん、なつきさんの4人の走る順番」という問題と等価
 最初に誰かが決まれば、次は残った3人の誰かがくる。
 よって最初に誰が走るかは4通り、次は3人なので3通り、その次は2通り、最後は自動的に一通りしかないので
4 × 3 × 2 × 1 = 24

 この二つの問題は、お気づきのように
① 4つを組み合わせる方法は何通りあるか?
 そのうち「0個と同じ数になるものを除くと何通りか」
② 4個の異なるものを並べる方法は

 に要約できれば、答えは見えてくる。数学や算数は、この「文章や会話から、髄だけを読み解く言語能力」そのものなのですよ。文章や会話というあいまいな言語を数式という言語に置き換えるだけ。
 小学校での算数は、突き詰めれば「文章や会話というあいまいな言語から、問われていることを読み取る」言語学に過ぎないのです。とにかく読書(絵のない)をすことが肝要ですね。マンガだと作者がイメージを示してくれるので楽だけど脳は鍛えられない。
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この回答へのお礼

アドバイスありがとうございました。

お礼日時:2016/04/03 19:21

①「これらの重りを1個以上組み合わせて出来る重さは、全部で何通りありますか」ですから、


組み合わせとしては
1. 重りを1つだけ選んだ場合
2. 重りを2つ選んだ場合
3. 重りを3つ選んだ場合
4. 重りを4つ全て選んだ場合

の4通りがあります。それぞれの場合について考えてみます。

1. 重りを1つだけ選んだ場合
問題文より、重りの種類は1g, 3g, 5g, 7gの4種類ですから、選べるのはその4種類です。
回答の1, 3, 5, 7はそれぞれ1g, 3g, 5g, 7gを選んだ場合を意味しています。

2. 重りを2つ選んだ場合
4種類の重りから2つ選んだ場合の、重りの種類と2つの重りの重さ合計を全て書きだしてみます。
1gの重りと3gの重り 合計4g
1gの重りと5gの重り 合計6g
1gの重りと7gの重り 合計8g
3gの重りと5gの重り 合計8g
3gの重りと7gの重り 合計10g
5gの重りと7gの重り 合計12g
上記の通り、6通りの組み合わせがありますが、注目してほしいのは
「1gの重りと7gの重り」と「3gの重りと5gの重り」が両方とも同じ合計8gとなっているところです。
問題文は「重さは、全部で何通り」とありますから、重さの同じこれら2つは1通りと数えます。
つまり「重りを2つ選んだ場合」は5通りの重さがあります。
ちなみに、回答の1+7(3+5)は、「1gと7gを選んだ場合、もしくは3gと5gを選んだ場合」です。

3. 重りを3つ選んだ場合
同じように選び方と重さの合計を書きだしてみます。
1g, 3g, 5gの重り 合計9g
1g, 3g, 7gの重り 合計11g
1g, 5g, 7gの重り 合計13g
3g, 5g, 7gの重り 合計15g
上記の通り、6通りの組み合わせがあります。

4. 重りを4つ全て選んだ場合
これは1g, 3g, 5g, 7gの全てを選んだ場合の1通りしかありません。

1の場合が4通り、2の場合が5通り、3の場合が4通り、4の場合が1通りあるのですから、合計で
4 + 5 + 4 + 1 = 14通り
となります。

②問題文より「あかねさんが2番目に走る」のですから、問題文の条件を満たす順番は
[誰でもOK] [あかねさん] [誰でもOK] [誰でもOK] [誰でもOK]
という順番になります。上記の[誰でもOK]の部分にかずやさん、さとみさん、ただしさん、なつきさんのいずれかが入ってくるわけです。
あかねさんの場所は固定されていますから、考える必要があるのは[誰でもOK]の枠に入る4人です。
その枠に入る順番を全て書きだしてみます。
(見やすくするため、かずやさんをK、さとみさんをS、ただしさんをT、なつきさんをNとします)
K S T N
K S N T
K T S N
K T N S
K N S T
K N T S
S K T N
S K N T
S T K N
S T N K
S N K T
S N T K
T K S N
T K N S
T S K N
T S N K
T N K S
T N S K
N K S T
N K T S
N S K T
N S T K
N T K S
N T S K
と24通りあります。

わかりやすさを重視して書きだしましたが、何通りかだけを知りたい場合は計算で算出することもできます。
4人の並べ替えは階乗で計算することができます。
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24通り

仮に5人の並べ替えは
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120通り
5人以上では書き出すのが厳しくなってきますので、階乗を使って計算する必要が出てきます。
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この回答へのお礼

今晩はアドバイスありがとうございました。
子供はまた別の解法を使っていましたが、算数って答えは同じでも色んな解き方があるんだなと思いました。

お礼日時:2016/03/31 01:05

小学生6年生にどう教えるのかは私も良くわからないけど,


この問題の場合,重りが1個の時,2個の時,3個の時,4個の時の
組み合わせを調べなさいと言えば良いのかな?


まずは重りを1個の場合を考えましょう。

重り1個の時は1,3,5,7gの4つの重さが測れます。

(>最初の1, 3, 5, 7や・・・この部分の回答です。)


次に重りが2個の場合を考えてみましょう。

2個の時は初めの数字を小さい方から並べて

1+3
1+5
1+7
3+5
3+7
5+7

の6個の組み合わせです・・・あ!!!!!
1+7と3+5はどちらも8じゃない!!!!!(って驚かすとか)
危なく引っかかるところでした,組み合わせは5通り。

>1+7(3+5)の(3+5)って何?って感じです。・・・この部分の回答↑
 わかりますよね?
 組み合わせとしては,1+7と3+5は別ですが,ここでの目的は重さを計る事なので,
 組み合わせが違っても結果は同じなので,組み合わせの総数に入れられないのです。

 そうとう算数苦手のようですので私も不安なんですけど・・・英語の書き換え問題とか?

 I have to study mathematics.
I must sutdy mathematics.

 同じ意味ですよね? これが,1+7と3+5の違いって説明で如何ですか?
 (算数的にはかなりおかしな説明になってるかもしれませんけど)

さて,話を戻して3個の組み合わせは簡単です。全部の4個なので1個ずつ消せばいい。
ここは黒板でないので上手く表現できませんけど,全部書いて1個ずつ消すとかする。

1+3+5+7(1を消す)→3+5+7
1+3+5+7(3を消す)→1+5+7
1+3+5+7(5を消す)→1+3+7
1+3+5+7(7を消す)→1+3+5

これで14通りの説明はおしまい。


②の説明・・・

まず初めに勘違いしないというか,落とし穴というか・・・

5人の順番と言っていますが,あかねさんは既に2番目に走ると問題文にある。

というとは,あとの4人の順番を決めればいい。

高校生相手なら一発で・・・4!=1×2×3×4=24と答えるけどね。

この場合,まずが樹形図書くしかないのかな?ちょっとここで樹形図はかけないので悪しからず。

かずやさん、さとみさん、ただしさん、なつきさん→K,S,T,Nにします

Kさんを第一走者にすると(2番目あかねさんは決まっているので)
3番目はS,T,Nさんの誰か。

K-S
K-T
K-N
と書けます。

では第4走者はのこりの誰か

K-S-T
K-S-N

K-T-S
K-T-N

K-N-S
K-N-T

第5走者は残り一人なので考えなくていいけど,小学生の場合は書かないとダメかな?

従い

K-S-T-N
K-S-N-T

K-T-S-N
K-T-N-S

K-N-S-T
K-N-T-S

実際にはあかねさんが第二走者ですので

K-A-S-T-N・・・と2番目に入れてあげないとダメですけど。組み合わせ数は変わらない。


ここまででKさんを第一走者にしたときは6つの組み合わせがある事が解りました。

残りも樹形図書いてもいいけど,ここは数学的に・・・というより,
誰かを第一走者にしたって,組み合わせの数が替るはずがない。

したがって,Sさん第一走者の時も組み合わせは6,Tさんの時も同じ・・・・

つまり,6×4=24通りとなる。


good luck!
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この回答へのお礼

今晩は、とても分かりやすい説明で分かりやすかったです。
英語は教えれえるので英語の問題に例えて貰って助かりました。

お礼日時:2016/03/31 00:59

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