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中一数学の【最大公約数と最小公倍数】の問題です。
1問だけでも教えていただけると嬉しいです。

(1) (1)最大公約数が20, 最小公倍数が240である。互いに異なる2つの自然数x、yの組をすべ
て求めよ。ただし,x<y とし、答えがx=● ,y=■ の組み合わせのときは,
(x,y)=(●,■) と書け。

答え(x, y)=(20, 240), (60, 80)

解説
最大公約数が20だから,x=20x′,y=20y'(ただし,x,y' は1以外に公約数をもたず,x' <y') と表される。
このとき 最小公倍数は20x'y' となるから,
20x'y' = 240
x'y'=12

したがって, (x',y')= (1,12),(3,4)
よって,x'<y' から, 求める x,yの組は,
(x, y) = (20, 240), (60, 80)

解説を読んでも、そもそもx=20x' とy=20y' の意味が分かりません。
xとx'、yとy'は同じということでしょうか。また、なぜ=になるのでしょうか。

解説のx,y,zの説明の所で、1、2、2の2乗、3、3の2乗、5とありますが、10と60の素因数分解の数が候補になるのではないですか?




(2) 最大公約数が10, 最小公倍数が60である, 互いに異なる3つの自然数x, y, zの組をす
べて求めよ。 ただし,x<y<zとし,答えがx=●,y=■,z=▲ の組み合わせのときは,
(x,y,z)=(●,■,▲)と書け。

答え(x,y,z)=(10, 20, 30), (10, 20, 60),(10, 30, 60), (20, 30, 60)

解説
最大公約数が10=2^2(2の2乗)×5、最小公倍数が60=2^2×3×5より, x, y, zはそれぞれ, 1, 2, 2^2,3,3^2,5の中から選んだ数の積で表されることになる。
x,y,zのいずれにもふくまれる数である「最大公約数」 が 10=2×5 なのだから, x, y, zのいずれにも2と5を素因数にもつ。 すなわち,10の倍数であるということがわかる。
あとは、素因数の5は1つしかないので,x<y<zより、残りの素因数 1, 2, 3の組み合わせで,x,y,zを決定していけばよい。

(i) x=10のとき
y=10x (1×2)=20, x=10× (1x3) = 30
y=10x (1×2)=20, z=10× (2×3)=60
y=10x (1×3)=30, z=10× (2×3) = 60

(ii) x=20のとき
y=10x (1×3)=30, z=10× (2×3)=60
よって, (i), (ii)より求める x, y, zの組は,
(x, y, z) = (10, 20, 30), (10, 20, 60),
(10, 30, 60), (20, 30, 60)

解説のx,y,zの説明の所で、1、2、2^2、3、3^2、5とありますが、10と60の素因数分解の数が候補になるのではないですか?
1と2、3^2の出処が分かりません。


よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

  • (1)の記号が重複しておりました(>_<)

      補足日時:2022/08/01 10:21

A 回答 (4件)

x と y の(最大)公約数が 20 だということは、


x も y も 20 で割り切れます。
x/20 も y/20 も整数だということです。
その整数を x/20=x’, y/20=y' と置けば、
式を変形して x=20x’, y=20y’となりますね。

もし x' と y' に 1 以外の共通因数 g があると
20g も x と y の公約数になってしまいますから、
20 が x と y の最大公約数であることから
x' と y' は互いに素です。

x=20x’, y=20y’ なんですから、
当然、x=x’, y=y’ ではありません。
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(1)


最大公約数の20と最小公倍数の240をそれぞれ素因数分解をすると
20 =2×2     ×5
240=2×2×2×2×3×5
となります。
したがって、求めるx、yを素因数分解すると
x=2×2×5×a
y=2×2×5×b
となり、さらにa×b=2×2×3(=12)となる必要があります。
※質問者さんの解説でわかりにくいのは、きっとこのaをx’、bをy’となっていることではと思います。
ここでa×b=12(a<b)となる組み合わせを考えると、
(a,b)=(1、12)、(2、6)、(3、4)があります。
が、このうち(a,b)=(2,6)はそれ自体に公約数2があるので、
xとyの最大公約数が2×2×5×2=40になってしまうので、(2,6)は該当しません。
したがって、求めるx、yは
(a,b)=(1,12)のとき(x、y)=(2×2×5×1、2×2×5×12)=(20、240)
(a,b)=(3,4)のとき(x、y)=(2×2×5×3、2×2×5×4)=(60、80)
となります。
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(1)最大公約数が20, 最小公倍数が240だから


x=20a、y=20b
20ab=240

ab=240/20=12だから
abは(1,12)(2,6)(3,4)の組み合わせになります。
その内(2,6)は2で割れるので除外。
abは(1,12)か(3,4)です。
よって
x=20*1=20、Y=20*12=240 または
x=20*3=60、y=20*4=80
題意通りの回答をするなら
(x,y)=(20,240),(60, 80)

よう知らんけど。

(2)も要る?
「中一数学の【最大公約数と最小公倍数】の問」の回答画像2
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>解説を読んでも、そもそもx=20x' とy=20y' の意味が分かりません


ここだけですが、
>最大公約数が20だから,x=20x′,y=20y'(ただし,x,y' は1以外に公約数をもたず,x' <y') と表される。
とある通りです。

自然数xの中に約数として20が入っているという事は
xは20の倍数という事になり、x=20x’で表せる。
例えば100は素因数が2・2・5・5なので100=20・5となる。
この例ではx’=5です。
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