中一数学の【最大公約数と最小公倍数】の問題です。 1問だけでも教えていただけると嬉しいです。 (1)

中一数学の【最大公約数と最小公倍数】の問題です。
1問だけでも教えていただけると嬉しいです。

(1) (1)最大公約数が20, 最小公倍数が240である。互いに異なる2つの自然数x、yの組をすべ
て求めよ。ただし,x<y とし、答えがx=● ，y=■ の組み合わせのときは,
(x,y)=(●，■) と書け。

答え(x, y)=(20, 240), (60, 80)

解説
最大公約数が20だから,x=20x′,y=20y'(ただし,x,y' は1以外に公約数をもたず,x' <y') と表される。
このとき 最小公倍数は20x'y' となるから,
20x'y' = 240
x'y'=12

したがって, (x',y')= (1，12),(3，4)
よって,x'<y' から, 求める x,yの組は,
(x, y) = (20, 240), (60, 80)

解説を読んでも、そもそもx=20x' とy=20y' の意味が分かりません。
xとx'、yとy'は同じということでしょうか。また、なぜ=になるのでしょうか。

解説のx,y,zの説明の所で、1、2、2の2乗、3、3の2乗、5とありますが、10と60の素因数分解の数が候補になるのではないですか？




(2) 最大公約数が10, 最小公倍数が60である, 互いに異なる3つの自然数x, y, zの組をす
べて求めよ。 ただし,x<y<zとし,答えがx=●，y=■，z=▲ の組み合わせのときは,
(x,y,z)=(●，■，▲)と書け。

答え(x,y,z)=(10, 20, 30), (10, 20, 60),(10, 30, 60), (20, 30, 60)

解説
最大公約数が10=2^2(2の2乗)×5、最小公倍数が60=2^2×3×5より, x, y, zはそれぞれ, 1, 2, 2^2,3,3^2,5の中から選んだ数の積で表されることになる。
x,y,zのいずれにもふくまれる数である「最大公約数」 が 10=2×5 なのだから, x, y, zのいずれにも2と5を素因数にもつ。 すなわち,10の倍数であるということがわかる。
あとは、素因数の5は1つしかないので,x<y<zより、残りの素因数 1, 2, 3の組み合わせで,x,y,zを決定していけばよい。

(i) x=10のとき
y=10x (1×2)=20, x=10× (1x3) = 30
y=10x (1×2)=20, z=10× (2×3)=60
y=10x (1×3)=30, z=10× (2×3) = 60

(ii) x=20のとき
y=10x (1×3)=30, z=10× (2×3)=60
よって, (i), (ii)より求める x, y, zの組は,
(x, y, z) = (10, 20, 30), (10, 20, 60),
(10, 30, 60), (20, 30, 60)

解説のx,y,zの説明の所で、1、2、2^2、3、3^2、5とありますが、10と60の素因数分解の数が候補になるのではないですか？
1と2、3^2の出処が分かりません。


よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• (1)の記号が重複しておりました(>_<)

    補足日時：2022/08/01 10:21

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/01 13:26

x と y の(最大)公約数が 20 だということは、

x も y も 20 で割り切れます。
x/20 も y/20 も整数だということです。
その整数を x/20=x’, y/20=y' と置けば、
式を変形して x=20x’, y=20y’となりますね。

もし x' と y' に 1 以外の共通因数 g があると
20g も x と y の公約数になってしまいますから、
20 が x と y の最大公約数であることから
x' と y' は互いに素です。

x=20x’, y=20y’ なんですから、
当然、x=x’, y=y’ ではありません。

No.3 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2022/08/01 10:44

(1)

最大公約数の２０と最小公倍数の２４０をそれぞれ素因数分解をすると
２０　＝２×２　　　　　×５
２４０＝２×２×２×２×３×５
となります。
したがって、求めるｘ、ｙを素因数分解すると
ｘ＝２×２×５×ａ
ｙ＝２×２×５×ｂ
となり、さらにａ×ｂ＝２×２×３（＝１２）となる必要があります。
※質問者さんの解説でわかりにくいのは、きっとこのａをｘ’、ｂをｙ’となっていることではと思います。
ここでａ×ｂ＝１２（ａ＜ｂ）となる組み合わせを考えると、
（ａ，ｂ）＝（１、１２）、（２、６）、（３、４）があります。
が、このうち（ａ，ｂ）＝（２，６）はそれ自体に公約数２があるので、
ｘとｙの最大公約数が２×２×５×２＝４０になってしまうので、（２，６）は該当しません。
したがって、求めるｘ、ｙは
（ａ，ｂ）＝（１，１２）のとき（ｘ、ｙ）＝（２×２×５×１、２×２×５×１２）＝（２０、２４０）
（ａ，ｂ）＝（３，４）のとき（ｘ、ｙ）＝（２×２×５×３、２×２×５×４）＝（６０、８０）
となります。

No.2 回答者： raizo-ichikawa 回答日時： 2022/08/01 10:39

(1)最大公約数が20, 最小公倍数が240だから

x=20a、y=20b
20ab=240

ab=240/20=12だから
abは(1,12)(2,6)(3,4)の組み合わせになります。
その内(2,6)は2で割れるので除外。
abは(1,12)か(3,4)です。
よって
x=20*1=20、Y=20*12=240　または
x=20*3=60、y=20*4=80
題意通りの回答をするなら
(x,y)=(20,240),(60, 80)

よう知らんけど。

(2)も要る?

No.1 回答者： ほい3 回答日時： 2022/08/01 10:33

＞解説を読んでも、そもそもx=20x' とy=20y' の意味が分かりません

ここだけですが、
＞最大公約数が20だから,x=20x′,y=20y'(ただし,x,y' は1以外に公約数をもたず,x' <y') と表される。
とある通りです。

自然数ｘの中に約数として20が入っているという事は
ｘは20の倍数という事になり、ｘ=20ｘ’で表せる。
例えば100は素因数が２・２・５・５なので100＝２０・５となる。
この例ではｘ’＝５です。