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最小公倍数と最大公約数の求め方で画像のような計算法があったのですが、理解できません。

なぜ2つ数24と18の公約数2と3をかけると、最大公約数6になり、
それで割って残ったお互いの素の数4と3と、公約数2と3をかけると、最小公倍数になるのですか?

「最小公倍数と最大公約数の求め方で画像のよ」の質問画像

A 回答 (4件)

整数 a, b があって、


gをaとbの最大公約数とすると、
a = g a’、b=g b’ とあらわせ、
a’とb’は互いに素になります。
(もし、a’とb’に公約数があったら、
g は最大公約数でなくなってしまいます。)
この性質を利用して行ったのが、
写真にある計算です。
2数が互いに素になるまで、
割り算を繰り返しています。

また、a とbの最小公倍数をLとすると、
先ほどの「互いに素な 2数 a’ と b‘ 」の
最小公倍数は 2数の積 a’ b‘ であり、
それにgをかけた g a’ b‘ がLとなります。
ちなみに、
ab = (g a’)・(g b‘)
= g・(g a’ b‘) = gL
という性質があります。
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どの辺から解らないのでしょう?



例えば24と18が6で割り切れる場合
24と18は2や3でも割り切れる ことは解りますか?

24と18が 2で割り切れ
商の12と9が3で割り切れるなら
24と18は6(=2×3)で割り切れることは解りますか?
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画像が 最大公約数と最小公倍数を求める やり方です。


最大公約数とは 両方の数字を 割り切れる 最も大きい自然数 の事です。
24と18では 両方とも 6 で割り切れますから 6 が 最大公約数です。
最小公倍数とは 両方の数字に それぞれ別の数字を掛けて
同じ数になったときの数字の事です。

24=2x2x2x3 、18=2x3x3 です。
両方に 共通する数字は 2と3 が1つ づつですから それを掛け合わせた
2x3=6 が 最大公約数になります。
両方に 兆通する数字を 除いた数字を
掛け合わせた数字が 最小公倍数になります。
従って (最大公約数)x(最小公倍数) は、
元の 2つの数字を掛けた値と 同じになります。
(3つ以上の数字の場合は ダメです。)

ネットで検索すると 多くのサイトがあります。
下記が 参考になるかも。
https://hibikore-tanren.com/gcm-lcm/
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破線で囲まれた数字(2,3)は24と18をともに割り切ることができるので


両数字に共通な素因数です
一方、最下段に出てきた数字(4,3)は
ともに割り切ることができる数字がないので
共通な素因数ではない数字ということになります


24=2x3x4
18=2x3x3
ですから
共通な素因数2x3=6は24と18の両方に存在する数字なんで
両者とも 共通な素因数をかけてひとまとめにした6で割り切れることになります
そして、この6以上に大きな数にまとめることはできないので6=2x3=gが
24と18を割り切ることができる最大の数→最大公約数となるのです

一方24の倍数は 
24=2x3x4を基本に
ここにさらに2を掛けたもの48(=2x3x4 x2)
3を掛けた者 72(=2x3x4 x3)
・・・などですよね
24の倍数が2x3x4を基本的に保有しているという事だから
24との公倍数もかならず 
基本の24=2x3x4 という因数を持っていないといけないのです

同様にして 18との公倍数なら
基本の18=2x3x3を必ず保有していないといけません

あわせると
24と18の公倍数では両者の基本的な素因数
2x3x4と2x3x3を保有していないといけないわけですが
そのうち 2x3は両者に共通ですから
公倍数が保有すべき因数は2x3(共通)と
どちらか一方にしかない x3 とx4
合計 2x3 x3 x4
これが公倍数が保有すべき因数であるということになります
で、これにさらに2を掛けた者
2x3x3x4 x2
も公倍数なら
さらに3をかけたもの
2x3x3x4 x3
なども公倍数ですが
最小なものはなにも掛け算しない
2x3x3x4だということになるのです
共通なものは先ほど述べた通り破線で囲まれた部分に出てきた数字です→g
片方にしかない数字は最下段に出てきた数字です
ゆえに 最小公倍数=破線内部の数字x最下段に出てきた数字
となるのです
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