整数問題 Nを正の整数とする。 N+18がN+2の倍数となるようなNの値の個数を求めたい。 解説に、

整数問題
Nを正の整数とする。
N+18がN+2の倍数となるようなNの値の個数を求めたい。
解説に、
A: N+18=N+2+16より
① N+18がN+2の倍数⇔N+18とN+2の最大公約数がN+2
である。
よって② N+18がN+2の倍数であるとき、N+2と16の最大公約数はN+2である。
すなわち③N+2は16の約数である。

とあります。
①は理解できました。②、③が理解できません。
Aの式に着目し、ユークリッドの互除法を用いると
N+2=16x+yとなり、逆に16がN+2の約数だと考えたのですが、、、
どなたか、解説をお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/08/13 12:56

A,Bで考えたら？

AがBの倍数なら、AとBの最大公約数はB。
AとBの最大公約数がBなら、AはBの倍数。

ここまでは自然に解りますよね？
A=B+xだったら？
AがBの倍数なんだから、(B+x)はBの倍数だって事です。

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AはBの倍数だからA=Bn
A=B+xだったら？
∴Bn＝B+x → x=(n-1)B
xはBの倍数
つまり、Bとxの最大公約数はB
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上でAをN+18、BをN+2、nを16と置き換えれば良いでけです。

この回答へのお礼

いつもありがとうございます。
この後、
数学　勉強法
で新たに質問をします。
もしよろしければそちらにもお答えいただければと思います。

お礼日時：2022/08/13 13:06