正の数aは4の倍数で、7でわると2余る数である。‪√‬576-aが正の整数となるようなaの値を求める

正の数aは4の倍数で、7でわると2余る数である。‪√‬576-aが正の整数となるようなaの値を求める問題の解説を馬鹿でもわかるようにお願いします。

質問者からの補足コメント

• すいません分かりずらいところがあったので訂正しておきます。
  ‪√‬（576-a）です

    補足日時：2023/06/20 16:08

No.10 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/21 13:06

[1] 「4の倍数で、かつ、7で割ると2余る数」は確かに存在して、たとえば16がその例だ。

　また、4と7は互いに素である。だから、どんな「4の倍数で、かつ、7で割ると2余る数」aについても
　　a = 16 + (4×7)k
となる整数kが存在する、ということがわかる。

　ここで注目。この式のkにどんな整数を代入しても、左辺は「4の倍数で、かつ、7で割ると2余る数」になる。逆に、どんな「4の倍数で、かつ、7で割ると2余る数」aにも、対応する整数kが一つだけ決まる。つまり、この式は【「4の倍数で、かつ、7で割ると2余る数」a】と【整数k】とをピッタリ1:1に対応づけている。
　ポイントは、「4の倍数で、かつ、7で割ると2余る数」というややこしい条件だったものが、この式によって、「整数」というだけの話に単純化された、というところ。

[2]√(576-a)の平方根の中身を
　　c = 576 - a
とすると、[1]を使って
　　c = 560 - (4×7)k
であり、
　　560 = (2^4)×5×7
なので
　　c = ((2^2)×7)(20 - k)
と表せる。

[3] 「√(576-a)が正の整数」だというのは、cが平方数（ナニカの整数の2乗）である、というのと同じことだ。[2]によって、cが平方数になるためには少なくとも「(20 - k)は7の倍数である」ことが必要だとわかる。なので、cが平方数なら
　　20 - k = 7n
となる整数nが存在する。（この式も、ややこしい条件を単純化する。）これを使って
　　k = 20 - 7n
　　a = 16 + (4×7)(20 - 7n)
　　　= 16 + (4×7×20) - ((2×7)^2)n
　　　= 576 - ((2×7)^2)n
　　　= 576 - 196n
となる。そして、
　　c = ((2^2)×7)(20 - k)
　　　= ((2×7)^2)n
となり、さて、この式をよく眺めると「cが平方数なら、nも平方数でなくてはならない」ということがわかる。

[4] aは「正の数」という条件付きなので、[3]から
　　3 ＞ n
また、c＞0でなくてはならんから、[3]から
　　n ＞ 0
なので結局、nは
　　3 ＞ n ＞0
を満たす平方数である。あとは「馬鹿でもわかる」のでは？

No.12 回答者： sc348253 回答日時： 2023/06/21 13:46

7q-3が11*11以下の値であればいいので

{12*12-(7q-3)}が累乗でなければならないので
4　9　16　25　36　49　64　81　100　121　
と入れていくと　表計算ソフトの
Libre Office Calc より　144-(7q-3)=b とおいて

q={(144-B^2)+3 }/7　から　q=14 のみで　

【7q-3=95　よって　b=144-95=49=7^2　】
a=4m=4(7q-3)=4(7*14-3)=380

訂正と説明がわかりづらい所があるので補足！

No.11 回答者： sc348253 回答日時： 2023/06/21 13:40

a=4m ......(1)

=7n+2 .....(2)
576=4*144=4*12^2より　‪√‬（576-a）が正の整数になるには
a/4=m <12 でなければならない　......(3)
　不定方程式を解くには　できるだけ条件から絞り込んで整数という条件から代入する整数を減らすとよい！
(1)=(2)から
4m=7n+2
4m-2=7n から 左辺は偶数より　nも偶数だから　n=2p とおけば
4m-2=7*2p
2m-1=7p から　左辺は奇数より　pも奇数だから　p=2q-1 とおけば
2m-1=7(2q-1)
2m=7p+1=14q-6
m=7q-3 とおける
(3)より　
‪√‬（576-a）=‪√‬（2*2*12*12-4m=2√(12*12-m)=2‪√‬{12*12-(7q-3)}
よりルートを外すためには{12*12-(7q-3)}が累乗でなければならないので
この値をが正になるには
7q-3が11*11以下の値であればいいので
4　9　16　25　36　49　64　81　100　121　
と入れていくと　表計算ソフトの
Libre Office Calc より　144-(7q-3)=b とおいて
q=(144-B^2)+3 から　q=14 のみで　
【7q-3=95　よって　b=144-95=49=7^2　】
a=4m=4(7q-3)=4(7*14-3)=380

No.9 回答者： kairou 回答日時： 2023/06/20 21:24

一番単純な方法を 書いてみます。

√(576-a) ならば、576-a=24²-a=s² で、a=24²-s² です。
当然 0<s<24 の整数です。
更に a=4n ですから 偶数ー偶数＝偶数 で s は偶数です。
つまり s=22 のとき a=92 で 7で割っても 余りが2でないので X。
s=20 のとき a=176 で 7で割っても 余りが2でないので X。
ｓ=18 のとき a=252 で 7で割っても 余りが2でないので X。
この様に 一つづつ 計算してみるのが 一番簡単。

「正の数aは4の倍数で、7でわると2余る数」の条件から
式を作ると 結構 めんどくさいよ。

No.8 回答者： windwald 回答日時： 2023/06/20 20:28

>分かりずらいところがあったので訂正しておきます。

× 分かりずらい　▲ 分かりづらい　△ 分かりにくい
「分かる」のが「つらい(苦痛や抵抗、困難があってできない)」から「分かりづらい」です。「すらい」という言葉はありませんから明確に誤りです。
しかし、苦痛など感じることが理由でできないのではなく、そもそも難度が高いというだけのことであれば「分かりにくい」とする方が適切です。しかし、これも今回の用法には不適切です。
難度が高い記載方法があったのではなく、ただ単に記述内容に誤りがあっただけのことです。
ですのでこの部分は、「記載内容に間違いがありましたので、(お詫びして)訂正いたします。」とするのがよいでしょう。

そして
>自主プリントとしてもらったのですが
ここも、「自習(用)プリント」あるいは「自主学習(用)プリント」としたほうがいいですね。おそらく「自習」という言葉を「自主」だと勘違いなさっているだけかと思いますが。

>このようなアプリで
教えてgooはアプリケーションソフトウェアではありません。web上にあるただの質問掲示板です。この質問のURLはこれ。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13505554.html

>解説が知りたくて聞いております。
ではご自身がどのように考えたのか、その試行錯誤の痕を画像添付願えませんでしょうか。
そうすれば、ご自身のつまづきポイントを丁寧に解説くれる回答がたくさんつきますよ。

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/20 20:26

√(576-a) なのだとしたら, それ (平方を開いた値) が 14 の倍数にならなきゃいけない. はい, 終わり.

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2023/06/20 15:51

何年生ですか。

√576-a は √(576-a) では無いですよね。
ならば 576=2⁶x3²=(2³x3)²=24² ですから √576=24 です。
従って √576-a=24-a で これが 正の整数のなるのは 、
a が 1～23 の自然数になります。
この中で 4の倍数は 4, 8, 12, 16, 20 の5つだけです。
この中で 7で割って2余るのは 16 だけです。

未知数を使って 式を作ると、n, m を 整数とします。
√576-a>0 より 0<a<24 。
a=4n より 0<4n<24 → 0<n<6 。
a=7m+2 より 0<7m+2<24 → -(2/7)<m<22/7 → 0≦m≦3 。
a=4n から a は偶数になりますから、a=7m+2 から m も偶数です。
従って 0≦m≦3 から m=0 又は m=2 しかありません。
m=0 では a=2 で a=4n を満たしません。
m=2 では a=16 で a=4n も満たすので 答えになります。

No.5 回答者： xs200 回答日時： 2023/06/20 12:32

√‬576-a=24-aが正なのだから理屈を考えるよりもやってみた方が速い。

20, 16, 12, 8, 4しかないので、7で割ると2余るのは16。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/20 06:00

aは4の倍数だから

a=4b…(1)
となる整数bがある
aは7で割ると2余る数だから
a=7c+2
となる整数cがある
↓これと(1)から
4b=7c+2
↓両辺から7cを引くと
4b-7c=2…(2)
7と4に対して互除法を使う
7=4+3
7-4=3…(3)
4-3=1
↓これに(3)を代入すると
4-(7-4)=1
4*2-7=1
↓両辺に2をかけると
4*4-7*2=2
↓これと(2)から
4b-7c=4*4-7*2
↓両辺に7c-4*4を加えると
4b-4*4=7c-7*2
4(b-4)=7(c-2)…(4)
↓
左辺は4の倍数だから
右辺も4の倍数だから
c-2は4の倍数だから
c-2=4mとなる整数mがある
↓これを(4)に代入すると
4(b-4)=7*4m
↓両辺を4で割ると
b-4=7m
↓両辺に4を加えると
b=7m+4
↓これを(1)に代入すると
a=4(7m+4)…(5)
aは正の整数だから
m≧0

√(576-a)は正の整数だから
k=√(576-a) となる整数kがある
↓両辺を2乗すると
k^2=576-a
↓これに(5)を代入すると
k^2=576-4(7m+4)
k^2=4*144-4(7m+4)
k^2=4(144-7m-4)
k^2=4(140-7m)
k^2=28(20-m)…(6)
↓
右辺は14の倍数だから
左辺も14の倍数だから
kも14の倍数だから
↓
k=14j
となる整数j>0がある
↓これを(6)に代入すると
196j^2=28(20-m)
↓両辺を28で割ると
7j^2=20-m
↓両辺にm-7j^2を加えると
m=20-7j^2…(7)
↓m≧0だから
0≦20-7j^2
↓両辺に7j^2を加えると
7j^2≦20
↓両辺を7で割ると
j^2≦20/7<4
j^2<4
j<2
0<j<2
↓jは整数だから
j=1
↓これを(7)に代入すると
m=20-7=13
m=13
↓これを(5)に代入すると
a=4(7*13+4)=4(91+4)=4*95=380
∴
a=380

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/20 01:32

なにがわからないんだろうか. 「問題の解説」がほしいってことだから, 例えば「正の数」とか「√ という記号の意味」とかを知りたいってことなのかな?

あるいは √576-a = 24-a だね, とかの突っ込みもありそうだ.