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数学 高1
解説お願いします。

問:さいころを1の目が3回出るまで繰り返し投げるものとする。n回目で終わる確率をP nとする時、次の問いに答えよ。ただし、3≦nとする。

P nが最大となる nを求めよ。

答え…n=12、13

問題集にある解説を読んでも理解できなかったので解説お願いします。

A 回答 (5件)

n回目で終わるということは、n-1回目までに2回、1の目が出て、n回目で1の目が出る確率ですから、


Pn=n-1C₂×(1/6)²×(5/6)^(n-3)×(1/6)=(n-1)(n-2)÷2×(1/6)^n×5^(n-3)=(n-1)(n-2)×5^(n-3)/(2×6^n)
ここでPn/p(n-1)=(n-1)(n-2)×5^(n-3)/(2×6^n)÷{(n-2)(n-3)×5^(n-4)/(2×6^(n-1))}=5(n-1)/6(n-3)
Pn/p(n-1)≦1のとき(n≧4として)
5(n-1)/6(n-3)≦1 ⇒ 5(n-1)≦6(n-3) ⇒ 5n-5≦6n-18 ⇒ n≧13
∴n≦12のときPn>P(n-1)、n=13のときPn=P(n-1)、n≧14のときPn<P(n-1)
よってP13=P12=12×11×5^10/(2×6^13)=11×5^10/6^12
が最大となります。
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n 回目までに 1 が 3回出る確率は


二項確率 (nC3){ (1/6)^3 }{ (5/6)^(n-3) } だから、
n 回目に初めて 3 回目の 1 が出る確率 Pn は
Pn = (nC3){ (1/6)^3 }{ (5/6)^(n-3) } ー ((n-1)C3){ (1/6)^3 }{ (5/6)^(n-1-3) }
= (1/3!){ (1/6)^3 }{ (5/6)^(n-4) }{ n(n-1)(n-2)(5/6) ー (n-1)(n-2)(n-3) }
= { (1/6)^5 }{ (5/6)^(n-4) }(n-2)(n-1)(18-n).
以上は n ≧ 4 の場合の話で、n = 3 の場合は別個に
P3 = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/6^3.
代入してみると、結果的に n = 3 の場合も上記の式でよいことが判る。

Pn が最大値なら、P(n-1) ≦ Pn ≧ P(n+1) となっているはずだから、
この不等式を解けば Pn が最大となる n の候補が絞られる。
{ (1/6)^5 }{ (5/6)^(n-1-4) }(n-1-2)(n-1-1)(18-(n-1)) ≦ { (1/6)^5 }{ (5/6)^(n-4) }(n-2)(n-1)(18-n),
{ (1/6)^5 }{ (5/6)^(n-4) }(n-2)(n-1)(18-n) ≧ { (1/6)^5 }{ (5/6)^(n+1-4) }(n+1-2)(n+1-1)(18-(n+1))
を整理して
(n-3)(n-2)(19-n) ≦ (5/6)(n-2)(n-1)(18-n),
(n-2)(n-1)(18-n) ≧ (5/6)(n-1)n(17-n)
より
(n-2)(n-9)(n-28) ≧ 0,
(n-1)(n-8)(n-27) ≦ 0
これを満たす n は n = 8, 9 に限られる。

P3 ≦ P4 ≦ P5 ≦ P6 ≦ P7 ≦ P8 = P9 ≧ P10 ≧ ...
となっていることになるから、最大値は P8, P9。
って、あれれ?
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さいころを1の目が3回出るまで繰り返し投げn回目で終わるということは、(n-1)回目までに1の目が


2回出て、n回目に1の目がでるということです。

(n-1)回目までに1の目が2回出るということは、(n-1)回目までに1の目が2回出て、1以外の目が(n-3)回出るということなので、(n-1)回目までに1の目が2回出る確率は、
(n-1) C₂ (1/6)^2・(5/6)^(n-3) となります。
そして、n回目に1の目が出るので、
Pn=(n-1) C₂ (1/6)^2・(5/6)^(n-3) ・(1/6)
=(n-1) C₂ (1/6)^3・(5/6)^(n-3) ……[1]

Pnが最大になるnですが、PnとPn+1を比べるとわかります。
①Pn+1/Pn>1 のときは、Pn+1>Pn
②Pn+1/Pn=1 のときは、Pn+1=Pn
③Pn+1/Pn<1 のときは、Pn+1<Pn

[1] より、
Pn+1=nC₂ (1/6)^3・(5/6)^(n-2)
よって、
Pn+1/Pn={nC₂ (1/6)^3・(5/6)^(n-2)} /{(n-1) C₂ (1/6)^3・(5/6)^(n-3)}
={n(n-1)/2・ (1/6)^3・(5/6)^(n-2)}/ {(n-1)(n-2)/2・ (1/6)^3・(5/6)^(n-3)}
=n/(n-2)・(5/6)
=5n/6(n-2)

①のとき、5n/6(n-2)>1
5n>6(n-2)
n<12
n<12 のときは、Pn<Pn+1

②のとき、5n/6(n-2)=1
n=12
n=12 のときは、n+1=13 より、P12=P13

③のとき、5n/6(n-2)<1
n>12 のとき、Pn>Pn+1

これより、
P3<P4<P5<……<P11<P12=P13>P14>P15>……
したがって、Pnが最大になるn=12、13 となります。
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素直に Pn を計算してそれが最大になるような n を求めればいい.

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P3~P15くらいまで計算して並べると分かりやすいかと。

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