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A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
n回目で終わるということは、n-1回目までに2回、1の目が出て、n回目で1の目が出る確率ですから、
Pn=n-1C₂×(1/6)²×(5/6)^(n-3)×(1/6)=(n-1)(n-2)÷2×(1/6)^n×5^(n-3)=(n-1)(n-2)×5^(n-3)/(2×6^n)
ここでPn/p(n-1)=(n-1)(n-2)×5^(n-3)/(2×6^n)÷{(n-2)(n-3)×5^(n-4)/(2×6^(n-1))}=5(n-1)/6(n-3)
Pn/p(n-1)≦1のとき(n≧4として)
5(n-1)/6(n-3)≦1 ⇒ 5(n-1)≦6(n-3) ⇒ 5n-5≦6n-18 ⇒ n≧13
∴n≦12のときPn>P(n-1)、n=13のときPn=P(n-1)、n≧14のときPn<P(n-1)
よってP13=P12=12×11×5^10/(2×6^13)=11×5^10/6^12
が最大となります。
No.4
- 回答日時:
n 回目までに 1 が 3回出る確率は
二項確率 (nC3){ (1/6)^3 }{ (5/6)^(n-3) } だから、
n 回目に初めて 3 回目の 1 が出る確率 Pn は
Pn = (nC3){ (1/6)^3 }{ (5/6)^(n-3) } ー ((n-1)C3){ (1/6)^3 }{ (5/6)^(n-1-3) }
= (1/3!){ (1/6)^3 }{ (5/6)^(n-4) }{ n(n-1)(n-2)(5/6) ー (n-1)(n-2)(n-3) }
= { (1/6)^5 }{ (5/6)^(n-4) }(n-2)(n-1)(18-n).
以上は n ≧ 4 の場合の話で、n = 3 の場合は別個に
P3 = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/6^3.
代入してみると、結果的に n = 3 の場合も上記の式でよいことが判る。
Pn が最大値なら、P(n-1) ≦ Pn ≧ P(n+1) となっているはずだから、
この不等式を解けば Pn が最大となる n の候補が絞られる。
{ (1/6)^5 }{ (5/6)^(n-1-4) }(n-1-2)(n-1-1)(18-(n-1)) ≦ { (1/6)^5 }{ (5/6)^(n-4) }(n-2)(n-1)(18-n),
{ (1/6)^5 }{ (5/6)^(n-4) }(n-2)(n-1)(18-n) ≧ { (1/6)^5 }{ (5/6)^(n+1-4) }(n+1-2)(n+1-1)(18-(n+1))
を整理して
(n-3)(n-2)(19-n) ≦ (5/6)(n-2)(n-1)(18-n),
(n-2)(n-1)(18-n) ≧ (5/6)(n-1)n(17-n)
より
(n-2)(n-9)(n-28) ≧ 0,
(n-1)(n-8)(n-27) ≦ 0
これを満たす n は n = 8, 9 に限られる。
P3 ≦ P4 ≦ P5 ≦ P6 ≦ P7 ≦ P8 = P9 ≧ P10 ≧ ...
となっていることになるから、最大値は P8, P9。
って、あれれ?
No.3
- 回答日時:
さいころを1の目が3回出るまで繰り返し投げn回目で終わるということは、(n-1)回目までに1の目が
2回出て、n回目に1の目がでるということです。
(n-1)回目までに1の目が2回出るということは、(n-1)回目までに1の目が2回出て、1以外の目が(n-3)回出るということなので、(n-1)回目までに1の目が2回出る確率は、
(n-1) C₂ (1/6)^2・(5/6)^(n-3) となります。
そして、n回目に1の目が出るので、
Pn=(n-1) C₂ (1/6)^2・(5/6)^(n-3) ・(1/6)
=(n-1) C₂ (1/6)^3・(5/6)^(n-3) ……[1]
Pnが最大になるnですが、PnとPn+1を比べるとわかります。
①Pn+1/Pn>1 のときは、Pn+1>Pn
②Pn+1/Pn=1 のときは、Pn+1=Pn
③Pn+1/Pn<1 のときは、Pn+1<Pn
[1] より、
Pn+1=nC₂ (1/6)^3・(5/6)^(n-2)
よって、
Pn+1/Pn={nC₂ (1/6)^3・(5/6)^(n-2)} /{(n-1) C₂ (1/6)^3・(5/6)^(n-3)}
={n(n-1)/2・ (1/6)^3・(5/6)^(n-2)}/ {(n-1)(n-2)/2・ (1/6)^3・(5/6)^(n-3)}
=n/(n-2)・(5/6)
=5n/6(n-2)
①のとき、5n/6(n-2)>1
5n>6(n-2)
n<12
n<12 のときは、Pn<Pn+1
②のとき、5n/6(n-2)=1
n=12
n=12 のときは、n+1=13 より、P12=P13
③のとき、5n/6(n-2)<1
n>12 のとき、Pn>Pn+1
これより、
P3<P4<P5<……<P11<P12=P13>P14>P15>……
したがって、Pnが最大になるn=12、13 となります。
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