[x] は,正の整数xの正の約数の個数を表すものとする。 例えば, 12の正の約数は 1, 2, 3

[x] は,正の整数xの正の約数の個数を表すものとする。 例えば, 12の正の約数は 1, 2, 3,
4, 6, 12 であるので, [12] =6となる。 このとき、 次の問いに答えなさい。
(1)〔72]-[[72] ] - [18] の値を求めよ。

(2) [n] = 15 となる正の整数nのうち、最小のものを求めよ。

答え (1) 0 (2) n=144

この問題を教えて下さい。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/01 14:01

（１） ひとつひとつ定義どおりに。

72 = (2^3)(3^2) より
[72] = (3+1)(2+1) = 12.

12 = (2^2)(3^1) より
[[72]] = [12] = (2+1)(1+1) = 6.

18 = (2^1)(3^2) より
[18] = (1+1)(2+1) = 6.

以上を使って、
[72] - [[72]] - [18] = 12 - 6 - 6 = 0.

(2)
15 = (3^1)(5^1) なので、
n の素因数分解の形は
n = p^(15-1) と
n = ｛ p^(3-1) }{ q^(5-1) } とがありえます。

n = p^(15-1) の形の中で
最小なのは p = 2 のとき n = 2^14 = 16384.

n = ｛ p^(3-1) }{ q^(5-1) } の形の中で
最小なのは p = 3, q = 2 のとき n = (3^2)(2^4) = 144.

この2つを比べて最小なのは、後者です。

No.3 回答者： akari31 回答日時： 2022/08/01 13:42

(2) [n] = 15=3*5より、nは2数の積となるので、

n=(2^k)(3^l)と置けて、正の約数の個数は(k+1)(l+1)=15より、
(k,l)=(2,4)、(4,2)ここで、(2^2)(3^2){(3^2)＞(2^2)}
よって、n=(2^4)(3^2)

No.2 回答者： Zincer 回答日時： 2022/08/01 13:32

（２）は

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13063653.html
と考え方は同じ。
[n] = 15（約数の数が１５個）になるのは
1×１５　または　３×５
のパターンのみ。
３×５を持つ最小の自然数は
(2^4)×(3^2)=144
1×１５のほうは2^8＝256ですでに超えるので省略。
よって、144が最小である。
※この考え方で（１）の約数の個数も簡単に求められます。

No.1 回答者： ほい3 回答日時： 2022/08/01 11:40

72=２・２・２・３・３なので約数は1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72…12

12-[12]-[18]、１８は、12の2・2・3と同じ2・3・3構成で…６
=12-6-6＝0

[72]が12なので、これに1以上の最小2を追加、144をチェック
1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72のほかに16,48,144追加で15

どうでしょうか？