場合の数

こんばんわ。次の問題について教えて下さい。

600の正の約数のうち偶数はいくつあるか。
という問題の解答に約数２^ａ×3^a×5^c（a.b.cは0≦a≦3、0≦b≦1、0≦c≦2を満たす整数）が偶数になるのは、a=1,2,3の時だから3×2×3=18(個)。
と書いてあったのですが、文章最後の「a=1,2,3の時だから3×2×3=18(個)。」の解答の意味がわかりません。
3×2×3の数字はどこからきたのでしょうか？
教えて下さい。よろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#14584 回答日時： 2005/05/05 03:00

600=2^3*3^1*5^2に注意しておきます．

まず，600の正の約数を素因数分解したものを考えます．それらは，k=2^a*3^b*5^cと表されます．（ただし，a,b,cは整数，0≦a≦3,0≦b≦1,0≦c≦2）

さらに，偶数という条件が課されていますから，a≠0．よって，600の正の約数でかつ偶数であるものを素因数分解したものは，k=2^a*3^b*5^cと表されます.（a,b,cは整数．1≦a≦3,0≦b≦1,0≦c≦2）

600の正の約数のうち，偶数であるものは全て上記の形で表せますが，素因数分解の一意性により，それらは重複していません．よって，a,b,cについて各々3通り，2通り，3通りの選び方があるので，
3*2*3=18となって，答えが18個となります．

No.2 回答者： pcbeginner 回答日時： 2005/05/05 03:04

>3×2×3の数字はどこからきたのでしょうか？

1つ目の3は
a=1,2,3の時→1,2,3の3通りの「3」です。
2つ目の2は
b=0,1の時→0,1の2通りの「2」です。
3つ目の3は…もうお解かりの通り
c=0,1,2の時→0,1,2の3通りの「3」です。

この問題の場合は
少なくとも2を1回かける→偶数
ということなので、a=0を除いた場合の数をカウントすればいいのです。
細かく書くと
a,b,c
1,0,0
1,0,1
1,0,2
1,1,0
1,1,1
1,1,2
2,0,0
2,0,1
2,0,2
2,1,0
2,1,1
2,1,2
3,0,0
3,0,1
3,0,2
3,1,0
3,1,1
3,1,2
の18通りです。