No.1ベストアンサー
- 回答日時:
別解:
a,b,c は正だから、相加相乗平均の関係から
(a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3) が成り立ち、その
等号成立条件は、a = b = c である。
ab + bc + ca = 1 かつ a = b = c であれば
a = b = c = 1/√3 だから、
a+b+c ≧ 3 ( (1/√3)(1/√3)(1/√3) )^(1/3) = √3
(ただし、等号成立条件は、a = b = c = 1/√3)
が成立している。
No.2
- 回答日時:
別解です。
a,b,cを下記の如く変数変換する。
・ a+b+ c=x
・ a-b =y
・-a-b+2c=z
すると、
・a=x/3+y/2-z/6
・b=x/3-y/2-z/6
・c=x/3 +z/3
これより、
・ab+bc+ca=x^2/3-y^2/4-z^2/12
したがって、
x^2=3y^2/4+z^2/4+3
およびa>0,b>0,c>0の元で、xの最小値を求めることになる。
y=z=0のとき、a=b=c=x/3で、x^2=3がxの最小値を与える
ことがわかり、この解x=√3は、a>0,b>0,c>0も満たす。
以上から、最小値=√3(a=b=c=1/√3の時)。
※上記変数変換について。
制約条件が2次式であることに着目。
目的関数である1次式(平面)の法線ベクトルをx軸とし、
これと直交するようにy,z軸を適当に決める
#やり方が高校数学の範囲と言えるかどうか微妙ですが...
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