aを正の定数とするとき、アステロイド x=acos^3θ(0≦θ≦2π)、y=asin^3θ(0≦θ

aを正の定数とするとき、アステロイド
x=acos^3θ(0≦θ≦2π)、y=asin^3θ(0≦θ≦2π)の長さを求めよ。という問題が分かりません。
途中式も含めて詳しく教えてください。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/11 08:02

やらかしが、数時間もして同じ回答をするストーカとして

戻ってきた。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/11 07:40

∫√(dx^2+dy^2) を計算すればいいだけです。

x = a cos^3 θ, y = a sin^3 θ, 0≦θ≦2π, a ≧ 0 なら、
∫√(dx^2+dy^2)
= ∫[0≦θ≦2π] √(a(3 cos^2 θ)(- sinθ)dθ)^2+(a(3 sin^2 θ)(cosθ)dθ)^2)
= ∫[0≦θ≦2π] 3a ｜cosθ sinθ｜ √((cosθ)^2+(sinθ))^2) dθ
= 3a ∫[0≦θ≦2π] ｜(1/2)sin(2θ)｜ dθ
= 3a ・ 4∫[0≦θ≦π/2] (1/2)sin(2θ) dθ
= 6a ∫[0≦θ≦π/2] sin(2θ) dθ
= 6a [(-1/2)cos(2θ)]_{0≦θ≦π/2}
= 6a (-1/2){cos π - cos 0}
= 6a.

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/10 19:43

https://kikyousan.com/mathmatics/calculus/astroid