1≦k≦(2^m)-1を満たす奇数kは、2^(m-1)個あるというのはどうやって考えるのでしょうか？

1≦k≦(2^m)-1を満たす奇数kは、2^(m-1)個あるというのはどうやって考えるのでしょうか？

No.2 回答者： sasa-san 回答日時： 2018/01/27 15:13

奇数から偶数までの数の場合、奇数と偶数の数は同じ

偶数から奇数までの数の場合、奇数と偶数の数は同じ
奇数から奇数までの数の場合、奇数の数は偶数の数より一つ多い
偶数から偶数までの数の場合、偶数の数は奇数の数より一つ多い

文章にするとわかりにくいのですが、
自然数を考えるとき、偶数と奇数が交互に並んでいるので
奇数と偶数の数の差は0または1ということになります。


今回の問題の場合、kは1から(2^m)-1の自然数を考えればよいわけです。
（おそらくmは自然数という条件が書かれているはず）

(2^m)-1は奇数なので、奇数から奇数までとなります。
したがって、奇数の数は偶数の数より一つ多くなります。
ですから、最後に偶数を一つ増やしてあげることで
奇数と偶数の数が同じになり、
個数全体の半分が奇数の数になるということがわかります。

なので問題は
　1から2^mまでの数に奇数はいくつあるか
と読み替えることができるのです。

ゆえに偶数と奇数の数は同じになっているのだから、
個数全体の半分を考えればよいので
2^m /2 =2^(m-1)個
が解答になるわけです。

No.1 回答者： さすらいの桃太郎 回答日時： 2018/01/26 19:56

奇数と偶数のペアで考えると分かりやすいかと存じます。

(2^m)-1 は奇数なので、これを、１だけ大きい2^m （＝偶数）と置き換えても奇数の個数は変わりません。その上で、
(1,2) (3,4) (5,6) ・・・・{(2^m)-1, 2^m}
と整理します。ペアごとに一つずつ奇数があるので、ペアの個数がすなわち求める奇数の個数です。その数は単純に２で割ればよくて、
(2^m)/2 = 2^(m-1)