重積分 極座標変換 θの範囲について 1対1 数弱です。与えられた領域Dの図示が困難であるときの場合

重積分 極座標変換 θの範囲について 1対1
数弱です。与えられた領域Dの図示が困難であるときの場合の質問です。
例えば、D＝{(x,y)l(x^2+y^2)^2≦a^2(x^2-y^2)}(a>0)で与えられたとします。
このとき、x＝rcosθ,y＝rsinθで変数変換するのですが、θを1対1するときの範囲の決め方がわかりません。
順当に解いていくと、
r^2≦a^2 ×cos2θ
であり、
-a√cos2θ≦r≦a√cos2θ
となります。
次に、1対1になるように距離であるからr>0と
-π<θ≦π(0≦θ<2πも可)の中で上のrについての条件式を満たす範囲を見つけなければなりません。

しかし、ここからがわかりません。大前提として、r≦a√cos2θよりcos2θは正でなければいけないので、-a√cos2θは0以下になります。
よって、0≦r≦a√cos2θです。
では、θの範囲について考えるとcos2θ>0より、
3π/4≦θ<πと-π/4≦θ≦π/4と-π≦θ≦-3π/4
の３つの領域が出てきてしまいます。
この場合、この3つに関してそれぞれ重積分を行い、全て足し合わせれば良いのでしょうか？
それとも、この3つのうちからどれか1領域を抜粋し、重積分を行わないと3対1になってしまうのでしょうか？

Dの領域が図示できないとすると、どう考えれば良いのでしょうか。ご教授お願いします。

質問者からの補足コメント

• ≦と<の扱いがおざなりになってます。申し訳ありせん

    補足日時：2024/07/27 22:11

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/07/28 13:40

> 大前提として

とおっしゃるけれども、それよりさらに以前の前提があります。すなわち
　　{(x,y)|(x,y)≠(0,0)}
を
　　 {(r,θ) | (0＜r) ∧ (Θ≦θ＜Θ+2π)}
に
　　(x,y) = r(cosθ,sinθ)
で写すと1：1対応になっている。これが極座標変換ってことであり、「1：1対応になってるかどうか」なんて心配はそもそも必要ない。ここまでは、ご質問の不等式に限った話ではなくて全くの一般論です。

さて、ご質問の関係
　　(x²+y²)²≦a²(x²-y²)
について、点
　　(x,y) = (0,0)
はこの関係を満たす。それ以外の点については極座標変換
　　(x,y) = r(cosθ,sinθ)　　ただし (r,θ)∈{(r,θ) | (0＜r) ∧ (Θ≦θ＜Θ+2π)}
によって
　　r²≦a²cos(2θ)　　ただし (r,θ)∈{(r,θ) | (0＜r) ∧ (Θ≦θ＜Θ+2π)}
に写る。だから（(x,y)=(0,0)を除いた）お求めの領域は、（極座標変換に伴って(r,θ)に最初から付いている制限をキチンと書きさえすればナンテことはなく）そのまんま
　　 {(r,θ) | (0＜r) ∧ (Θ≦θ＜Θ+2π) ∧ (r²≦a²cos(2θ))}
です。
　明らかに、rは0＜r≦|a|でありさえすれば勝手な値を取れる一方、θはa²とr²およびΘによって制限される。θの範囲はたとえばΘ=-πとかΘ=0の場合には3つの領域に分かれ、また、たとえばΘ=-π/2の場合には2つの領域に分かれる。ともあれθの範囲を陽に表すには逆三角関数が必要でしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。大変参考になりました！

お礼日時：2024/07/31 22:02

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/07/27 23:09

0≦θ≦2π → 0≦2θ≦4π　・・・・①

ですから、この範囲で cos2θ≧0　を調べればよい。

周期関数だから、一般に
2πn≦2θ≦π/2+2πn
3π/2+2πn≦2θ≦2π(n+1)
となるが、これらの中で①の範囲を満たすのは
n=0,1 のときのみで

0≦2θ≦π/2, 2π≦2θ≦5π/2 → 0≦θ≦π/4, π≦θ≦5π/4
3π/2≦2θ≦2π, 7π/2≦2θ≦4π → 3π/4≦θ≦π, 7π/4≦θ≦2π
の4つの範囲となる。