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F(x)=[cos x] ([ ]はガウス記号)
はx=0で連続か不連続かを調べよ、という問題の回答が分かりません。
回答だと、-2/π≦x≦ 2/π, x=0とすると0≦cos x<1
という説明から始まっているのですが、この-2/π≦x≦ 2/πはどこから出てきたのですか? 0≦x≦2πの範囲で-1≦cos x≦1ではダメなのですか?
バカでも理解できるようにわかり易く教えてくださいm(__)m

gooドクター

A 回答 (5件)

>この-π/2≦x≦π/2はどこから出てきたのですか?


x=0での連続性を調べるには、x=0を中心に両側に一定の範囲を含めたxの範囲で考えればいいので
-π/2≦x≦π/2でなくても
-π/3≦x≦π/3,-π/4≦x≦π/4,-π/6≦x≦π/6などいづれでも構いません。

>0≦x≦2πの範囲で-1≦cos x≦1ではダメなのですか?
x=0の両側にxの範囲がないので「0≦x≦2π」ではダメです。
「-1≦cos x≦1」は関係ありません。

x=0-で 0<cos(x)<1 ∴[cos(x)]=0
x=0+で 0<cos(x)<1 ∴[cos(x)]=0
x=0でcos(x)=1 ∴[cos(x)]=1

従って、x=0で[cos(x)]は不連続である。
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連続であることを示す場合には、x=0 の近傍で


考えなくてはならないが、今回のように
不連続を示すには、x>0 だけ扱っても支障無い。

ただし、[cos x]=0 以外になる x が出てくると、
本質的な問題は無いとは言え、話がゴタゴタする。

0<x<π/2 とか、0<x<1 とかの範囲で
扱ってもよいだろう。
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>この-2/π≦x≦ 2/πはどこから出てきたのですか?


cosXの性質から出てきたものです。
しかも,連続/不連続を調べたいx=0およびその上下を含んだ範囲です。
 
>0≦x≦2πの範囲で-1≦cos x≦1ではダメなのですか?
これも cosXの性質から出てきたものですが,そのあと,肝心の x=0での連続/不連続についての論理がうまくつながりません。
たとえば,x→+0 は調べられても,この範囲では x→-0 については範囲外なので,調べられません。
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こんにちわ。



>-2/π≦x≦ 2/π, x=0とすると0≦cos x<1
これは
 -π/2≦ x≦ π/2, x≠ 0とすると、0≦ cos(x)< 1

ということ(πが分子で、2が分母)でいいですか?

以下、その前提で書きます。
問題では x= 0のまわりで値がどうなるかを考えているので、
x= 2π/3のような値を考える必要はありません。
また、連続であることを調べるには、x→0+0、x→0-0の値を考える必要があるので、
x= 0の前後(±)の範囲で考える必要になります。

このような xの範囲の置き方は、sin(x)/xの極限を考えるときにも使います。
教科書を一度確認してみてください。
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F(x)=[cos x] はurlにグラフがあるので見てください。



>回答だと、-2/π≦x≦ 2/π, x=0とすると0≦cos x<1

いくらひどい参考書でもこんなデタラメは書かないでしょう

多分

-π/2≦x≦ π/2, x≠0とすると0≦cos x<1 ゆえにF(x)=[cos x]=0

x=0では cosx=1 ゆえにF(x)=[cos x]=1

従って

F(x)=[cos x]はx=0で連続

の趣旨が書いてあるはずです。


>0≦x≦2πの範囲で-1≦cos x≦1ではダメなのですか?


x=0の前後の連続、不連続を議論しようというのにx=0を端部に持ってきては面倒だということです。

参考URL:http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
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