位相がよく分かりません。 cos(ωt)はsin(ωt)に対して位相が90度遅れってあるサイトに書い

位相がよく分かりません。
cos(ωt)はsin(ωt)に対して位相が90度遅れってあるサイトに書いてあったんですけど、それぞれをグラフで書くとcosの方が進んでないですか？

No.9 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/01 10:22

#3 です。

あらら、なんか不穏な雰囲気になっていますね。

そもそもの質問が、何のどんなものを対象に
「cos(ωt)はsin(ωt)に対して位相が90度遅れってあるサイトに書いてあった」
といっているのかが不明確なので、いろいろな見方がされているのだと思います。

(1) たとえば、交流回路などで
「コンデンサの電圧は、電流よりも位相が 90° 遅れる」「コイルの電圧は電流よりも位相が 90° 進む」
といった場合の「位相」は、同じ時刻の「波形のズレの大きさ」のことです。より一般的には「位相差」と呼ぶと思います。
そのときには
　(sinωt)' = ωcosωt = ωsin(ωt + π/2)
なので、「cos の波形の方が、sin の波形よりも π/2 だけ進んでいる」ということになります。
（ここでいう「進み」は、#3 に書いた「t-y グラフで時間が進むこと、つまり波形を左にシフトさせること」に相当します）

(2) ただし、一般に「位相」といった場合には、#2 さんが
「周期関数cos(ω₁t＋a),sin(ω₂t+b)の(ω₁t＋a),(ω₂t+b)を位相といいます。」
と書かれているように、三角関数の「角度」に相当する部分そのものを指します。
その場合には、#7 に書かれているように
「cos(ωt)の位相とsin(ωt)の位相は直接比較できません。位相差は常に
ωtーωt＝０です。」
ということになります。

この場合には、#1 さんが書かれているように
　cosωt = sin(ωt + π/2)　　　①
となりますが、これは「波形が重なり合うときの位相（角度）はいくつか」という議論であって、上の「波形のずれ」（位相差）とは意味が異なります。

①と sinωt の「位相」どうしを比べれば「ωt + π/2」と「ωt」ですから、どちらを基準に何をもって「進む、遅れる」と呼ぶかをきちんと定義しなければ意味をなしません。
なぜなら、#3 にも書いたように（書き方をがおかしかったので下記の通り訂正します）、cos の波形（振幅）が sin(ω*ts) と一致するときを t=tc とすれば
　cos(ω*tc) = sin(ω*ts)　　　②
であって、
　cos(ω*tc) = sin(ω*tc + π/2)
なので、②は
　sin(ω*tc + π/2) = sin(ω*ts)
という関係になり、 tc と ts は
　ts = tc + π/2ω
つまり
　tc = ts - π/2ω
となります。
「時刻 tc は、ts よりも π/2ω だけ小さい」つまり「時刻 tc は ts より π/2ω だけ遅れている」という言い方になると思います。


上の(1) は
「同じ時間に、波形がどれだけズレているか」
という議論であり、
下の(2) は
「同じ波形になるときに、時間がどれだけズレているか」
という議論です。
このどちらを議論するのかを明確にしなければ、議論がかみ合いません。

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/01 14:44

電気回路では

基準となる正弦波 sinωt に対して、正弦波sin(ωt + θ) は
「位相がθ進んでいる(-θ遅れている)」と表現するのが普通。
但し -π < θ < π

誘導負荷の電流は遅れ、容量負荷の電流は進みですね。

cosωt は sin(ωt+π/2)=sin(ωt-3π/2)
だから進みです。工場の電流の遅れ進み計
とかもこの流儀

「遅れている 」と呼ぶ場合あるかな？
ちょっと思いつかない。

No.8 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/30 17:07

もう何も言うことはありません。

No.7 回答者： konjii 回答日時： 2021/11/30 15:34

cos(ωt)の位相とsin(ωt)の位相は直接比較できません。

位相差は常に
ωtーωt＝０です。sinカーブまたはcosカーブ同士で位相差を求めます。
sinカーブで比較すれば、sin(ωt＋π/2)(基準）とsin(ωt)(比較)に対して ですので　ωtー(ωt＋π/2)＝ーπ/2(90°の遅れ）
cosカーブで比較すれば、cos(ωt)(基準）とcos(ωt-π/2)(比較)に対して ですので　ωt-π/2ーωt＝ーπ/2（90°の遅れ）

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/30 13:56

「cos(ωt)はsin(ωt)に対して位相が90度遅れって・・・」

という日本語が理解できませんか？

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2021/11/30 13:22

フグさん、お言葉ですが

　位相差＝比較したい位相ー基準の位相
cos(ωt)はsin(ωt)に対して　ですので、言い換えれば
sin(ωt＋π/2)(基準）はsin(ωt)(比較)に対して ですので
ωtー(ωt＋π/2)＝ーπ/2　ではありませんか？

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/30 12:20

#1さんの「進む」で終わっています。

#2さんは sinを基準にするなら
　(ωt＋π/2)－ωt＝π/2
である。ただ、この差が進み・遅れとの関係が不明。

#3さんは遅れると言っているようだが（ごちゃごちゃだらだらと読
む気にならない）、参照しているサイトでは進むと言っている？

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/30 10:32

「位相」とか「位相差」の呼び方って、頭が混乱しますよね？

これは「波の波形」のグラフの表し方である
・x-y グラフ（空間を進む波の空間配置）
と
・t-y グラフ（ある空間上の点における振幅の時間変化）
が「ごちゃごちゃ」になるからです。

x-y グラフでは、横軸（x 軸）は座標で、一般に波は「左から右に」進むように書きますから、グラフの「右の方」は、昔原点を通過した「過去の揺れ」を表わしています。
今「原点」にある揺れが、一定時間後に右の「ｘ座標」に位置に進みますが、グラフ自体は「今現在の瞬間」を表していますから、そこに書かれている「右の方の波」は「過去に原点を通った波の、今の位置」になります。

それに対して、t-y グラフでは、横軸（t 軸）は時間で、一般に時間は「左から右に」進みますから、グラフの「右の方」は、これからの波の揺れ、つまり「未来」を表わしています。
「今現在」が原点で、右の方は「これから○秒経ったらこういう揺れになる」ということを示します。
つまり、t-y グラフでは、時間が進むにつれて「座標軸が右に移動していく」ということになり、座標軸を固定して時間を進めると波は「右→左」に進んで行くように見えるのです。

「位相」というのは、このうち「t-y グラフ」で表した横軸を指し、「位相差」はその差を言います。
上に書いたように、
・右側が「未来」
・左側が「過去」
を指します。
「進み」「遅れ」とは、時間の流れの「先」か「後」か、ということであり、
・「未来」に同じ状態になるのは「遅れ」
・「過去」に同じ状態だったのは「進み」
ということになります。

ということは、「t-y グラフで右にあるもの」は「遅れ」なのです。

#1 さんの書き方をすれば
　cos(ω*tc) = sin(ω*ts)
という関係になる（同じ振幅になる） tc と ts は
　ts = tc + θ/ω
つまり
　tc = ts - θ/ω
になるので、「tc は、ts よりも θ/ω だけ小さい」つまり「tc は ts より θ/ω だけ遅れている」ということです。

分かりにくいですが、たとえばこんなサイトを見てください。
↓
https://hegtel.com/iso.html

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2021/11/30 10:24

周期関数cos(ω₁t＋a),sin(ω₂t+b)の(ω₁t＋a),(ω₂t+b)を位相といいます。

cos(ωt)、sin(ωt)の場合
cos(ωt)=sin(ωt＋π/2)から
位相差はsin(ωt)とsin(ωt＋π/2)の位相差
ωtー(ωt＋π/2)＝ーπ/2
９０°遅れているといいます。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/11/30 01:22

cos(ωt)＝sin(ωt＋π/2）なので、cos(ωt)はsin(ωt)よりπ/2進んでいます。