
点Oを中心とする半径1の円を中心角∠AOB=4θ(0<θ<π/4)で切った扇形に、内接する長方形PQRSを考える。
図があります↓
Q_____P
B | | A
R_____S
O
(1)∠POQ=2xとして、長方形PQRSの面積S_θ(x)を求めよ。
(2)S_θ(x)を最大にするxの値と、最大値M(θ)を求めよ。
(3)θが0<θ<π/4の範囲で変化するとき、関数M(θ)のグラフをかけ
この問題に取り組んでいます
△OPQに余弦定理を使い、PQ=√(2-2cos2x)
として、そのあとQRの長さを表したいと思い、PQの中点をM、RSの中点をNをしてOM-ON=QRとしてみたのですが、うまくできませんでした。
この(1)はきれいな答えが出るのでしょうか?
回答いただければありがたいです。よろしくお願いします
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
では(1)だけ
方針は正しいと思いますけど、余弦定理を使うと
かえって計算を複雑にすると思います。
3角形OPNに注目してください。
OPを斜辺とする直角三角形ですね。
∠POM=xであるのでPM=OPsinx=sinx したがってPQ=2sinx
(√(2-2cos2x)も倍角公式を使って計算すると2sinx
になります。)
同様にOM=cosx
ONを求めればMNがもとまりますね。∠SON=2θですから
OSsin2θ=NS=MP=sinx よってOS=sinx/sin2θ
OM=OScos2θ=sinxcos2θ/sin2θ
MN=OM-ONでたかさがもとまります。
加法定理を使って整理するときれいな形になります。
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