定積分 ∫[3,0]√(9-x^2)dxについて

解き方を教えてください。
x=3cosxと置くらしいのですが、なぜでしょうか？

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2015/06/20 22:19

9-x^2≧0の必要条件から-3≦x≦3の要請があり、x=3costはこの要請にあっているということが第1の理由です。

costは0<t<πで減少関数なので私は使いません。

x=3sintで置換します。

√(9-x^2)=3cost

dx/dt=3costより

dx=3costdt

I=∫[0,3]√(9-x^2)dx=∫[0,π/2]9cos^2tdt

=(9/2)∫[0,π/2](cos2t+1)dt (倍角公式使用）

=(9/2)[(sin2t)/2+t][0,π/2]=(9/2)(π/2)=9π/4

これは半径3の円の第１象限分（1/4）ということで妥当な結果であることが解ります。


なお
I1＝∫[3,0]√(9-x^2)dx

とかくと積分範囲は3から0の意味で、

I2=∫[0,3]√(9-x^2)dx

とすると積分範囲は0から3の意味でI2は正に値になりますがI1は負の値になります。

ここでは表題のI1は誤記でI2の意味にとってすすめました。もし表題通りI1を計算したいということなら

I1=-9π/4

です。

No.2 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/06/20 22:12

なぜでしょう、って、まずそれで計算してみましょうよ。

三角関数の公式は頭に入ってますか？
入ってないなら、どこかの参考書なりWebのどこかなりの三角関数の公式集を眺めれば良いでしょう。

> x=3cosx
→x=3cosｔ
など。
これが抜けると、たぶん後の計算が狂います。
その狂う辺りが解けないのはまぁ今はいいとして、三角関数のところができないのは拙いです。
三角関数の公式を使った処理から、積分までできれば、今は良いと思います。
解答解説を見て、それで何が足りないのか研究することになります。
どうしてこの指摘が重要かも判るでしょう。
三角関数で躓いていると、そこまで辿り着けないでしょう。

面倒だから、
∫[1,0]√(1-x^2)dx
まずこれを考えて下さい。

No.1 回答者： lupan344 回答日時： 2015/06/20 22:05

y=√（9-x^2）から、y^2＋x^2＝3^2となり、円の方程式となります。

これは、半径3で、原点を中心とした円となります。
したがって、単位円の3倍ですから、x＝3cosθに置換する事が可能です。