広義積分 ∫(-1→t)1/√|x| dx の解き方を教えてください。

広義積分
∫(-1→t)1/√|x| dx の解き方を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/28 02:59

t = 0 の近傍で広義積分になっているから、

ここで積分区間を区切って、極限に変換して計算する。

t < 0 の場合は、単純に
∫(-1→t) 1/√|x| dx = ∫[-1→t] 1/√(-x) dx
　　　　　　　　　= ∫[-1→t] (-x)^(-1/2) dx
　　　　　　　　　= [ (-2)(-x)^(1/2) ]_{-1→t}
　　　　　　　　　= (-2)(-t)^(1/2) - (-2)(-(-1))^(1/2)
　　　　　　　　　= - 2√(-t) + 2.
t = 0 の場合は、
∫(-1→0) 1/√|x| dx = lim[t→-0] ∫(-1→t) 1/√|x| dx
　　　　　　　　　= lim[t→-0] - 2√(-t) + 2
　　　　　　　　　= 2.
t > 0 の場合は、
∫(-1→t)1/√|x| dx = ∫(-1→0)1/√|x| dx + ∫(0→t) 1/√|x| dx
　　　　　　　　　= ∫(-1→0)1/√|x| dx + lim[b→+0] ∫(b→t) 1/√|x| dx
　　　　　　　　　= 2 + lim[b→+0] ∫[b→t] 1/√x dx
　　　　　　　　　= 2 + lim[b→+0] [ 2 x^(1/2) ]_{b→t}
　　　　　　　　　= 2 + lim[b→+0] { 2 t^(1/2) - 2 b^(1/2) }
　　　　　　　　　= 2 + 2 t^(1/2) - 2 lim[b→+0] b^(1/2)
　　　　　　　　　= 2 + 2 t^(1/2).

ま、この手の質問は、回答しても削除されるんだけど。