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x−1分の2の微分の仕方を教えてください。
できれば解説もつけてくださると嬉しいです。

gooドクター

A 回答 (3件)

x^(-1)の微分は -x^(-2) は宜しいでしょうか?



これを使って合成関数の微分で計算することもできます。

y=f(u)、u=g(x)の時

dy/dx=df/du・dg/dx

なので、y=2/u, g=x-1 とおくと

dy/dt=df/du・dg/dx=-2u^(-2)・1
=-2(x-1)^(-2)
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簡単にするため


 y = x - 1
とおけばよいでしょう。

こうおけば
 f(x) = 2/(x - 1)

 f(y) = 2/y = 2 y^(-1)
と書けます。

そうすれば
 df/dx = df/dy * dy/dx
という計算ができます。

右辺は、おのおの
 df/dy = -2 y^(-2)
 dy/dx = 1
ですから、
 df/dx = -2 y^(-2)
    = -2 (x - 1)^(-2)
    = -2/(x - 1)^2
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(f(x)/g(x))'=(f'xg-g'xf)/(g^2)を用いればよい。


{2/(x-1)}'ではf(x)=2,g(x)=x-1より、f'=0,g'=1から、{2/(x-1)}'=-2/(x-1)^2
あるいは、{2/(x-1)}'=2x{(x-1)^(-1)}'=2x(-1)x(x-1)^(-1-1)=(-2)/(x-1)^2としても同様の結果となる。
つまり、{(x-1)^n}'=n・(x-1)^(n-1)を使っただけです。
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