定積分の問題です。

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質問者：rumikepapi
質問日時：2012/10/31 16:26
回答数：2件

定積分 ∫[0→1]1/(x^3+8)dx
はどのようなやり方で解けばよいのでしょうか？
分かりやすい説明をお願いします。

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： info22_
回答日時：2012/10/31 17:24

部分分数分解して、各項毎に積分すれば良いでしょう。

1/(x^3+8)=1/((x+2)(x^2-2x+4))
=(1/12)(1/(x+2))-(1/12)((x-1)-3)/((x-1)^2+3)
=(1/12)(1/(x+2))-(1/12)((x-1)/((x-1)^2+3))+(1/4)(1/((x-1)^2+3))

∫[0→1]1/(x^3+8)dx
=(1/12)∫[0→1](1/(x+2))dx
-(1/12)∫[0→1](x-1)/((x-1)^2+3)dx
+(1/4)∫[0→1](1/((x-1)^2+3))dx
=(1/12)[ln(x+2)][0→1]
-(1/12)[(1/2)ln((x-1)^2+3)][0→1]
+(1/4)[(1/√3)tan^-1((x-1)/√3)][0→1]
=(1/12)ln(3/2)
-(1/12)(1/2)ln(3/4)
+(1/4)(1/√3)(-tan^-1(-1/√3)
=(1/24)ln((9/4)(4/3))+(1/(4√3))(π/6)
=(1/24){ln(3)+(π/√3)}