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f(x)=e^(-ax^2)  (-∞≦x≦∞,a>0)
のフーリエ変換が分かる方いましたら是非教えてください。よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

搦め手からの別解です



F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= -(ω/2a)∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) dx = -(ω/2a)F(ω)

これは簡単な微分方程式なのですぐに解けて

ln F(ω) = -(1/4a) ω^2 + C

F(ω) = A e^{-ω^2/4a} (A = e^C)

積分定数Aは、

F(0) = A = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) dx = √(π/a)

によって決まり、最終的に

F(ω) = √(π/a) e^{-ω^2/4a}
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フーリエ変換の定義が分からないので、積分


   ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx
の部分だけ解法を紹介します。

被積分関数は
   e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) = e^{ -a*x^2 - i*ω*x }
                  = e^{ -a*( x^2 + i*ω*x/a ) }
                  = e^[ -a*[ { x + i*ω/(2*a) }^2 - { i*ω/(2*a) }^2 ] ]
                  = e^[ -a*[ { x + i*ω/(2*a) }^2 +{ ω/(2*a) }^2 ] ]
                  = e^[ -a*[ { x + i*ω/(2*a) }^2 ] ]*e^{ - ω^2/(4*a) }
と変形できます。

ここで x + i*ω/(2*a) = X とおくと
   e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) = e^( -a*X^2 )*e^{ - ω^2/(4*a) }
   dx = dX
   積分範囲は -∞≦X≦∞
したがって
   ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx = ∫[-∞≦X≦∞] e^( -a*X^2 )*e^{ - ω^2/(4*a) } dX
                             = e^{ - ω^2/(4*a) }*∫[-∞≦X≦∞] e^( -a*X^2 ) dX

a > 0 のとき、∫[-∞≦X≦∞] e^( -a*X^2 ) dX はガウス積分と呼ばれ、その値は √(π/a)
つまり
   ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx = √(π/a)*e^{ - ω^2/(4*a) }

ガウス積分 http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/gaussInt …
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Qフーリエ変換の問題

f(x)のフーリエ変換F(x)は

F(x)=∫[-∞,∞]f(x)exp(-iωx)dx

で表される。次の関数のフーリエ変換を求めよ。

a>0として、 f(x)={0 (x>0 )
           {-exp(ax) (x<=0)

という問題があります。

私は

F(x)=(iω-a)^(-1)[exp(a-iω)x](-∞→0)までやりました。

ここで、ちょっとわからないところがあります。

exp((a-iω)x)の値はx=0のときは1ですよね。
でも、x=-∞のときは、どうすればいいかわからなくなりました。

普通なら、exp(ax)=0ですよね。a>0(つまりaは0より大きければ),x=-∞なら
ですが、a-iωは虚数であって0と比べられないですよね。ちょっとここでつまづいて...

問題の答えをみればexp((a-iω)x)=0 (x=-∞)って書いてありますけど、なぜそうなるか書いてないです。

ご指導お願いします!

Aベストアンサー

指数法則により
exp{(a-iω)x}=exp(ax)*exp(-iωx)
となります。

ωxが実数の時、|exp(-iωx)|=1 となります。ですので
0<|exp{(a-iω)x}|=|exp(ax)|*|exp(-iωx)|=exp(ax)*1=exp(ax)
となります。
x→-∞とするとexp(ax)→0 (a>0の場合) となりますのではさみうちの定理により
|exp{(a-iω)x}|→0 となります。

Qフーリエ変換について

こんなこと聞くのは失礼なんですが、
f(t)=exp(-at^2) (a>0)がフーリエ変換できません。
どのように置くと求めることができるのかおしえてください。答えはわかっているのですがとき方がわかりませんどうかアドバイスをお願いします。

Aベストアンサー

exp(-az^2)は正則だからコーシの積分定理により
∫(z:左回り)exp(-az^2)dz=0
であるから
∫(t:-∞→∞)exp(-a(z-jc)^2)dx
はcがどんな実数であっても同じであり√(π/a)。
後は簡単。
x(t)=exp(-at^2)のフーリエ変換をX(f)とすると
X(f)=
∫(-∞~∞)x(t)exp(-j2πft)dt=
∫(-∞~∞)exp(-at^2)exp(-j2πft)dt=
∫(-∞~∞)exp(-a(t-jπf/a)^2)exp(-(πf)^2/a)dt=
exp(-(πf)^2/a)∫(-∞~∞)exp(-a(t-jπf/a)^2)dt=
exp(-(πf)^2/a)∫(-∞~∞)exp(-at^2)dt=
√(π/a)exp(-(πf)^2/a)

書き間違いは多いので考え方だけ信じるように。

Qガウス関数のフーリエ変換 証明

ガウス関数のフーリエ変換の証明を解きたいのですが、
ググっても、詳細個所を省いて説明がなされているため、
最後の解まで至りません。。
数学の知識が足りないのは、至らないところですが
急ぎのため回答願います。

画像工学の分野にて、
フーリエ変換の式は下記を使いたいです。

F(ω)=∫exp^(-ax^2)exp(-2πiωx)dx

この式を最後以下のように変形したいのです。

F(ω)=√π/√a * exp(-ω/4a)

どなたか詳細お願いいたします。

Aベストアンサー

(11g12)のωはxの間違い。従って(11g12)の正しい式は
d(e^(-ax^2)/dx = (-2ax)e^(-ax^2)

(11g13)は
(j/2a)d(e^(-ax^2))/dx = (-jx)e^(-ax^2)
となります。

(11g13)と(11g14)の間の式を
∫e^(-ax^2) *(-jx)e^(-jωx)dx = ∫(-jx)e^(-ax^2)*e^(-jωx)dx
として
(-jx)e^(-ax^2)とe^(-jωx)のそれぞれに部分積分を行います。

その時に(-jx)e^(-ax^2)の積分が(11g13),(j/2a)*e^(-ax^2),
である事が活かされて来ます。

その結果として(11g15)の常微分方程式が導かれます。

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qeのマイナス無限大乗

lim(t→∞) 1-e^(-t/T)
T:定数

というのがあって、極限値が1になることは手計算で分かったのですが、
数学的に1になる理由が分かりません。

e^(-∞)=0になる理由を数学的に教えてください。

Aベストアンサー

e^(-n) = (1/e)^n
であり、
0<|1/e|<1
だから

Qexp(ikx)の積分

exp(ikx)のマイナス無限大から無限大までの
積分の公式または方法はありますか?
iは虚数でkは定数です。

Aベストアンサー

それはδ関数になります。普通に積分しても答は出ません。

たとえば、

∫[-a→a] exp(ikx) dx = 2a [sin ka]/[ka] = 2a sinc(ka)

2a sinc(ka)は-∞から+無限大までkで積分すると
aによらず面積が2πになる関数で、a→+∞の極限をとったものを
2πδ(x)と書きます。これがδ関数です。なので、

∫[-∞→∞] exp(ikx) dx = 2πδ(x)

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

QΣ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90を求める際,どの正規直交関数系を使えばいいのかの選択基準は?

こんにちは。

[問]f(x)=x^2(x∈[-π,π])のフーリエ級数を求め,それを使ってΣ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90を示せ。
[解]
f(x)(=x^2)π^2/3+4Σ[k=1..∞](-1)^kcos(kx)/k^2=π^2/3-4cosx+cos(2x)-4/9cos(3x)+…
これを正規直交関数{u_k(x)}={1/√2,cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}を使って書き直すと
1/√(2π)・√(2π)・π^2/3+cosx/√π(-4√π)+sinx/√x・0+cos(2x)/√π・1+sin(2x)/√π・0+cos(3x)/√π・(-4√π/9)+… …(1)
従って,a_0=√(2π)/3,a_1=-4√π,a_4=0,a_5=-4√π/9,…
従って(1)は
Σ[k=0..∞]a_k^2=a_0^2+a_1^2+a_3^2+a_5^2+…=2π^5/9+16π+π+16π/81+…=2π^5/9+16Σ[k=1..∞]1/k^4 …(2)
一方,∥f(x)∥^2=∫[π..-π](f(x))^2dx=∫[-π..π]x^4dx=2π^5/5 …(3)
(2)と(3)をParsevalの等式「∥f(x)∥^2=Σ[k=0..∞]a_k^2」に代入して2π^5/5=2π^5/9+16πΣ[k=1..∞]1/k^4
∴Σ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90

の問題についてですが正規直交関数は色々あると思いますがこの問題では特に
{u_k(x)}={1/√2,cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}
を使えばいい事とどのようにして知る得るのでしょうか?

こんにちは。

[問]f(x)=x^2(x∈[-π,π])のフーリエ級数を求め,それを使ってΣ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90を示せ。
[解]
f(x)(=x^2)π^2/3+4Σ[k=1..∞](-1)^kcos(kx)/k^2=π^2/3-4cosx+cos(2x)-4/9cos(3x)+…
これを正規直交関数{u_k(x)}={1/√2,cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}を使って書き直すと
1/√(2π)・√(2π)・π^2/3+cosx/√π(-4√π)+sinx/√x・0+cos(2x)/√π・1+sin(2x)/√π・0+cos(3x)/√π・(-4√π/9)+… …(1)
従って,a_0=√(2π)/3,a_1=-4√π,a_4=0,a_5=-4√π/9,…
従って(1)は
Σ[k=0..∞]a_k^2=a_0^2+a_1^2+a_3^2+...続きを読む

Aベストアンサー

 どうやら、話の筋がこんぐらがってるように思います。

 この[問]全体の構造を見れば、これは「x^2の直交展開からΣ[n=1..∞]1/n^4を計算するにはどんな直交関数系を使えば良いか」という話ではない。「x^2の直交展開から何が言えるか」という話ですらない。そもそも「x^2」なんざ脇役です。

 もし[問]が「Σ[n=1..∞]1/n^4を計算せよ」というのだったら、アプローチはいろいろある。
 公式集で探すとか、とりあえず検索掛けてみるとか、知ってる公式が使えないかとか、部分和を作ってみるとか、項の順序をいじってみるとか、漸化式にならないかとか、余分な項を入れてみるとか、変数変換してみるとか、もっと一般化してみるとか、何か旨い母関数のテイラー展開とか、その微分とか積分とか、何か変な関数の積分に出て来る漸化式の応用、いや案外発散するんじゃないかとか、…
 それじゃ、アプローチの仕方が絞れなくて大変でしょう。どこから手を着ければいいのか分からなくて、多くの人は諦めちゃうだろう。たとえ見込みのあるアプローチを見つけても、その計算に公式集が要るようじゃ何やってんだか分からない。ってんで、「x^2のフーリエ級数を考えてみなさい」というスペシャルヒントが書いてある。そういう問題だと捉えることができます。

 ですが、この[問]は解いて終わりというだけのものじゃない。そのエッセンスはむしろ、こういうことではないでしょうかね:
 「Σ[n=1..∞]1/n^4は幾らか。という話はちょっと置いといてですね、全然関係なさそうな、x^2のフーリエ級数展開をやってごらんなさい。いーからやんなさい。ともかくやるんです。…するとどーです、Σ[n=1..∞]1/n^4の値が旨い具合に現れる。まーちょっと、この結果を味わってみませんか。総和を計算するために一見迂遠なフーリエ級数を使うなんて、面白いでしょ。しかも、πですよ、π。この級数からπが出て来るなんて予想できました?ナント、πの値を計算する公式が得られちゃった訳です。楽しいね」。

 たとえば「じゃあ、もっと他の関数のフーリエ級数展開を使うと、このやり方でどんな無限級数が計算できるかな?」という風にでも、興味が発展すると良いのですけどね。

 どうやら、話の筋がこんぐらがってるように思います。

 この[問]全体の構造を見れば、これは「x^2の直交展開からΣ[n=1..∞]1/n^4を計算するにはどんな直交関数系を使えば良いか」という話ではない。「x^2の直交展開から何が言えるか」という話ですらない。そもそも「x^2」なんざ脇役です。

 もし[問]が「Σ[n=1..∞]1/n^4を計算せよ」というのだったら、アプローチはいろいろある。
 公式集で探すとか、とりあえず検索掛けてみるとか、知ってる公式が使えないかとか、部分和を作ってみるとか、項の順序を...続きを読む

Qフーリエ変換がよくわかりません。

フーリエ積分の勉強を始めたばかりで、まだ慣れずどうやればいいのかわかりません。
とても初歩的なことだと思いますがお願いします。


f(x)=exp(-x^2/2)
のフーリエ変換を求めたいのですが、

F(f(x))=1/√2π∫(-∞~∞)exp(x^2/2+iωx)dx

としてからの変換がわかりません。

その際
∫(-∞~∞)exp(-αx^2)dx=√π/α

を用いれます。

フーリエ変換というより積分計算かもしれないのですが、教えてください。

Aベストアンサー

質問に騙されたので-の付け忘れを修正する

F(ω)=∫(-∞~∞)exp(-x^2/2+iωx)dx
とする
F(ω)=∫(-∞~∞)exp(-(x-iω)^2/2-ω^2/2)dx
F(ω)=exp(-ω^2/2)∫(-∞~∞)exp(-(x-iω)^2/2)dx
これを求めるには
lim(r→∞)∫(-r-iω→r-iω→r→-r→-r-iω)exp(-z^2/2)dz=0
の左辺の長方形積分経路の各辺の積分を考えれば分る

しかしf(x)のフーリエ変換の定義は
1/√(2π)∫(-∞~∞)exp(-x^2/2-iωx)dx
ではないのか?
流儀によっては
∫(-∞~∞)exp(-x^2/2-iωx)dx

∫(-∞~∞)exp(-x^2/2-i2πξx)dx
だろう

1/√2π=π/√2だからカッコで囲め!


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