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「f(x)=tanxのマクローリン展開をn=3まで求めなさい」という問題について、悩んでいます。

f(x)=sin(x)やf(x)=cos(x)の例を参考に、f'(0)、f''(0)、f'''(0)より級数形式の一般項を求めようとしました。

tanx=sinx/cosxなので、f'=1/cos^2xですが、このままf''、f'''と求めるのは大変面倒な気がします。

最終的な回答は、x+x^3/3+2x^5/15+34x^7/315らしいのですが、こちらから一般項に辿り着けません。

わかる方がいらっしゃいましたら、教えてください。
できましたら、途中の進め方を詳しくお願い致します。

A 回答 (3件)

1/(cosx)^2=1+(tanx)^2という公式をフル活用します。


tanxをxで微分すると
(tanx)'=f'(x)=1/(cosx)^2=1+(tanx)^2
となります。
あとは
f''(x)=2*(tanx)*(tanx)'=2tanx+2*(tanx)^3
f'''(x)=2(tanx)'+2*3*(tanx)^2*(tanx)'=2+8tanx^2+6(tanx)^3
といった感じで、f''(x)、f'''(x)、…は計算できます。

この回答への補足

微分のヒントを頂き、ありがとうございました。

n次の微分を計算していき、x->0とすると、

微分次数が
奇数時は f',f''',f'''''…=f(2n+1)=1,2,16,272…、
偶数時は f,f'',f''''…=f(2n)=0
(上記f( )内は微分次数のつもりです)

となるのは分かりました。
力技で、回答には辿り着けましたが、うまく一般項にできません。

つまり、tanx=Σ([?]*x^(2n+1)/(2n+1)!)と表記するにあたり、1,2,16,272…(n=0,1,2,3…のとき)を一般化して[?]に表すにはどうすればよろしいでしょうか。

もう少しのお助けをお願い致します。

補足日時:2005/09/25 17:44
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この回答へのお礼

回答いただき、ありがとうございました。

微分を進めて、何とか回答に辿り着きましたが、一般項がうまく求められません。

補足を記入しましたので、もう少しお助けいただけますと、幸いです。

お礼日時:2005/09/25 17:53

最も標準的な方法はやはり f^{(n)}(x) を次々計算する方法でしょう.


具体的テクニックは No.1 で yoikagari さんが書かれているとおりです.

ただし,今の場合はもう少し簡便にやる方法もあります.
n=3 までということは x^3/3 の項まで求めよということでしょうね.

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ・・・
    = x(1+f)
f = -x^2/3! + x^4/5! - ・・・
と書き,同様に
cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ・・・
    = 1-g
g = x^2/2! - x^4/4! + ・・・
としておきます.
tan(x) = sin(x)/cos(x) ですから
tan(x) = x(1+f)/(1-g)
    = x(1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・)
となります.
右辺全体に x がかかっていますから,x^3 のオーダーまで求めるには
(1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・) で x^2 のオーダーまで求めればよいわけです.
f も g も x^2 から始まりますから,
(1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・) = {(-1/3!)+1/2!}x^2 + (x^4 以上の項)
となり,
{(-1/3!)+1/2!} = 1/3
から
tan(x) = x + x^3/3 + ・・・
が分かります.
これくらいでしたらほとんど暗算で済みますね.

n=5 までやるのでしたら,
(1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・) で x^4 のオーダーまで求める必要があります.
この場合は
(a) 1+f の x^4 のオーダーの項と(1+g+g^2+g^3+・・・) の1との積
(b) 1+f の 1と (1+g+g^2+g^3+・・・) の x^4 のオーダーの項の積
(c) 1+f の x^2 のオーダーの項と(1+g+g^2+g^3+・・・) の x^2 のオーダーの項の積
の3つが x^4 に寄与します.
(a) から来る寄与は 1/5!
(b) から来る寄与は
  g そのものから -1/4!,
  g^2 から (1/2!)^2
(c) からは -(1/3!)×(1/2!)
合わせて
1/5! - 1/4! + (1/2!)^2 - (1/3!)×(1/2!) = 2/15
なので,
tan(x) = x + x^3/3 + (2/15)x^5 + ・・・
こっちはちょっと暗算では無理か(少なくとも私には).

なお,一般項がシンプルな形に書ける方がむしろ珍しいです.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

sin(x) ,cos(x)は例題に詳しい回答があるため展開形の商も考えたのですが、ご紹介の手法が思いつきませんでした。

なお、例題の回答はsin(x) ,cos(x)がシンプルな一般項になっていたため、tan(x)も同様になるのかと思った次第です。

お礼日時:2005/09/27 06:23

まず,関数の冪級数展開をしたときに


その一般項がお望みのように

tanx=Σ([?]*x^(2n+1)/(2n+1)!)

のような「すっきりした形」で書けるという
保証はないんです.
実際,ある種の数列{A_n}は
ある関数f(x)を冪級数展開した際に
f(x)=Σ(A_n/n!) x^{n} ----(1)
と現れる係数であるという風に定義されるものも
あります.

さて,本題.じつはtan(x)も
この手の仲間です
ベルヌーイ数と呼ばれる値B_nを用いて
tan(x) =
Σ( (B_n(-4)^n (1-4^n) ) / (2n) )x^(2n-1)
なんていうに表せます.

それでベルヌーイ数B_nというのは
f(x)=x/(e^{x}-1)
を冪級数展開したときの
上の(1)で定義される数列です
B_0=-1
B_n=(-1)/(n+1) Σ_{i=0}^{n-1} (n+1 i) Bi
ここで(n+1 i)は二項係数
ベルヌーイ数ってのは
こういう関数の展開とかには結構よくでてくる
不思議な数列です
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この回答へのお礼

補足への回答ありがとうございます。

さすがにベルヌーイ数は、今回の問題に対する事前例題に説明すらありませんので、「n=3まで」=「手作業で到達できるところまで」という問題と解釈します。

お礼日時:2005/09/25 21:33

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