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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
搦め手からの別解です
F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx
とします。これをωで微分すると
dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx
ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので
dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx
部分積分して
dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }
第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので
dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= -(ω/2a)∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) dx = -(ω/2a)F(ω)
これは簡単な微分方程式なのですぐに解けて
ln F(ω) = -(1/4a) ω^2 + C
F(ω) = A e^{-ω^2/4a} (A = e^C)
積分定数Aは、
F(0) = A = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) dx = √(π/a)
によって決まり、最終的に
F(ω) = √(π/a) e^{-ω^2/4a}
No.1
- 回答日時:
フーリエ変換の定義が分からないので、積分
∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx
の部分だけ解法を紹介します。
被積分関数は
e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) = e^{ -a*x^2 - i*ω*x }
= e^{ -a*( x^2 + i*ω*x/a ) }
= e^[ -a*[ { x + i*ω/(2*a) }^2 - { i*ω/(2*a) }^2 ] ]
= e^[ -a*[ { x + i*ω/(2*a) }^2 +{ ω/(2*a) }^2 ] ]
= e^[ -a*[ { x + i*ω/(2*a) }^2 ] ]*e^{ - ω^2/(4*a) }
と変形できます。
ここで x + i*ω/(2*a) = X とおくと
e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) = e^( -a*X^2 )*e^{ - ω^2/(4*a) }
dx = dX
積分範囲は -∞≦X≦∞
したがって
∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx = ∫[-∞≦X≦∞] e^( -a*X^2 )*e^{ - ω^2/(4*a) } dX
= e^{ - ω^2/(4*a) }*∫[-∞≦X≦∞] e^( -a*X^2 ) dX
a > 0 のとき、∫[-∞≦X≦∞] e^( -a*X^2 ) dX はガウス積分と呼ばれ、その値は √(π/a)
つまり
∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx = √(π/a)*e^{ - ω^2/(4*a) }
ガウス積分 http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/gaussInt …
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