線積分

ベクトル場 a = (ｘｙ, ｙｚ, ｚｘ) について
つぎの曲線 C に沿った線積分∫a・ｄr を求めよ．

(1) 曲線 C: ｒ(ｔ)= （1,ｔ,ｔ^2 ）　0 ≤ ｔ ≤ 1
(2) 始点 (０,0,0) と終点 (1,2,3) を結ぶ線分 C

これの解き方を教えてください　お願いします

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/06 22:03

何を計算するかは問題文に具体的に書かれているから、

ただ計算するだけだよね。
(1)
(x,y,z) = (1,t,t^2) {0≦t≦1} 上で
∫(xy,yz,zx)・(dx,dy,dz) = ∫[0,1] (xy,yz,zx)・(dx/dt,dy/dt,dz/dt) dt
　= ∫[0,1] (t,t^3,t^2)・(0,1,2t) dt
　= ∫[0,1] 3t^3 dt
　= [　(3/4)t^4　]_(0,1)
　= (3/4){ 1^4 - 0^4 }
　= 3/4.
(2)
(x,y,z) = t(1,2,3) {0≦t≦1} 上で
∫(xy,yz,zx)・(dx,dy,dz) = ∫[0,1] (xy,yz,zx)・(dx/dt,dy/dt,dz/dt) dt
　= ∫[0,1] (2t^2,6t^2,3t^2)・(1,2,3) dt
　= ∫[0,1] 23t^2 dt
　= [　(23/3)t^3　]_(0,1)
　= (23/3){ 1^3 - 0^3 }
　= 23/3.

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2021/07/06 22:43

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/07/06 10:20

x,y,zのパラメータtによる表示（(1)では与えられてるし、(2)は簡単に作れる）を使ってaをtのベクトル関数として表す。

一方、ベクトル dr/dt をtで表したものを計算する。両者の内積a・dr/dtはスカラーでtの関数になるから、これをtで積分する。それだけ。