媒介変数(t)の2回微分についてですが、 (d²y/dx²)=(dt/dx)・(d/dt)(dy/d

媒介変数(t)の2回微分についてですが、
(d²y/dx²)=(dt/dx)・(d/dt)(dy/dx)と表せますが、
右辺を(d/dt)・(dt/dx)(dy/dx)と変形できないのはなぜですか？(d²y/dx²)=(dt/dx)・(d/dt)(dy/dx)という形は定義のようなものですか？

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2023/09/22 11:41

このご質問の本質は、「(d/dt)(f g) = f ((d/dt)g) = g ((d/dt) f) とできないのが納得行かない」という話ですね。

　f g = g fとできるのは、掛け算について「可換性」という特別な性質を持っている代数系だからこそ成り立つ話である。また、(f g) h = f (g h) とできるのは、掛け算について「結合性」という特別な性質を持っている代数系だからこそ成り立つ話である。一方、いくら形が掛け算に似ていたって、(d/dt)という微分演算子の可換性や結合性は成り立たん、ということです。

　ご質問の場合、わざわざ二階導関数を持ち出すまでもなく、
　　z = dy/dx
とおけば　
　　d²y/dx² = dz/dx
であり、(dt/dx)・(d/dt)(dy/dx) というのは
　　(dt/dx)((d/dt)z) = (dt/dx)(dz/dt)
と表せる。一方、(d/dt)・(dt/dx)(dy/dx) ってのは
　　(d/dt)・(dt/dx)z
となるわけだが、さて、これは一体何を意味するのか。すなわち、カッコをきちんと付けたら
(a)　　((d/dt)(dt/dx)) z
になるという話なのか
(b)　　(d/dt)((dt/dx)z)
になるという話なのか。もちろん、両者は一致しない。
(a)　　((d/dt)(dt/dx))z = -((d²x/dt²)(dt/dx)²)z
(b)　　(d/dt)((dt/dx)z) = -((d²x/dt²)(dt/dx)²))z + (dz/dx)

　この話は
　　(d/dt)fg
が
(a)　　((d/dt)f)g = g(d/dt)f
のつもりなのか
(b)　　(d/dt)(fg)
のつもりなのかで違う、というのと全く同じことです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
一般化してみると全然違いますね

お礼日時：2023/09/22 17:22

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/21 20:07

y=y(t(x))

yはtの関数
tはxの関数
dt/dx=(tのxによる微分)
(d/dt)(dy/dx)=(dy/dxのtによる微分)

(d/dt)(dt/dx)=(dt/dxのtによる微分は無意味)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
見やすい図までありがとうございます

お礼日時：2023/09/22 17:20

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/21 13:52

(dt/dx)・(d/dt)・(dy/dx) の

(dt/dx)・ は普通の掛け算、
(d/dt)・ は演算子の作用で
書き方は似ているけれど、全く別のもの。
その間に交換法則は成立しない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
微分と掛け算の式は似てるけど、確かに四則演算ではないですね

お礼日時：2023/09/22 17:19

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/21 11:48

dy/dx = y' と書けば

d²y/dx² = dy'/dx = (dy'/dt)(dt/dx)

となるのは単なる変数変換ですよね？

dy'/dt = (d/dt)(dy/dx)

です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
y'に置き換えると一目瞭然ですね

お礼日時：2023/09/22 17:18

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/09/21 11:29

(d/dt)・(dt/dx)(dy/dx)

と書くと(d/dt)が(dt/dx)にも作用する。つまり積の微分公式から
(d/dt)・(dt/dx)(dy/dx)={(d/dt)(dt/dx)}・(dy/dx)+(dt/dx)・(d/dt)(dy/dx)
となってしまう。これは元の式とは明らかに異なる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確かに明らかに変になりますね

お礼日時：2023/09/22 17:18