緊急：1/(2+sinx)　の積分

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質問者：takeches
質問日時：2011/07/12 20:17
回答数：4件

∫1/(2+sinx) dx です。

いくら考えてもわかりません。
どなたかお教え願えると幸いです。

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回答 (4件)

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No.3ベストアンサー

回答者： tomokoich
回答日時：2011/07/12 22:27

tan(x/2)=tと置いて

sinx=2t/(1+t^2)
dx/dt=2/(1+t^2)なので
∫1/(2+sinx)dx
=∫1/{2+(2t/(1+t^2))}・(2/(1+t^2))dt-->このへん見づらくてスミマセン
=∫2/(2+2t+t^2)dt
=∫1/(t^2+t+1)dt
=∫1/{(t+1)^2+(3/4)}dt
=Arctan((t+(1/2))/(√3/2))/(√3/2)+C
というふうにやってはどうでしょう
続きはお願いします

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この回答へのお礼

=∫1/{(t+1)^2+(3/4)}dt

ああ、こうやってt^2+a^2の形にわけるのですね。。。
思慮不足でした。ありがとうございます。

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お礼日時：2011/07/12 22:55

No.4

回答者： alice_44
回答日時：2011/07/12 22:44

←A No.1 補足：

使えますよ。
u^2 + 4iu - 1 = 0 を解公式で解いて iu = 2±√3。
2/(u^2 + 4iu - 1) = (-1/√3)/(iu-2-√3) + (1/√3)/(iu-2+√3)
と部分分数分解して、積分すれば、
与式 = (i/√3) log( (iu-2-√3)/(iu-2+√3) ) + (積分定数)。
ここへ u = (cos x) + i(sin x) を代入すれば終わり。
ほらね？

この回答への補足

そういうことではなくて、設問を見ればわかると思うんですが、
微分積分の初歩の知識だけで解答していただきたいと言う旨です。

あなたが言っているのは、
微分ができなくて困っている高校生に、ロピタルの定理を教えているようなことです。

補足日時：2011/07/12 22:58

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- 1
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この回答へのお礼

極限の計算をする際に、ということです。念のため。

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お礼日時：2011/07/12 23:01

No.2

回答者： tknakamuri
回答日時：2011/07/12 21:41

結構複雑ですね。

Maxima にやってもらいました。

(2/√(3)) atan( ( 2sin(x)/(cos(x)+1) + 1) / √(3) )

- 1
- 件

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No.1

回答者： alice_44
回答日時：2011/07/12 20:42

u = exp(ix) で置換すると、

与式 = ∫｛2/(uu+4iu-1)｝du
となるから、普通に
部分分数分解して積分する。

この回答への補足

その解法は使えないのですが。。。

補足日時：2011/07/12 21:04

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　Ｌｏｇ　――――――――――――
　　　　　｜ｘ＋１＋√（ｘ＾２＋１）｜

　　　　　｜［ｘ－１＋√（ｘ＾２＋１）］［ｘ＋１ー√（ｘ＾２＋１）］｜
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――――――――――――
　　　　　　｜［ｘ＋１＋√（ｘ＾２＋１）］［ｘ＋１ー√（ｘ＾２＋１）］｜

　　　　　｜［ｘ－（１－√（ｘ＾２＋１））］［ｘ＋（１ー√（ｘ＾２＋１））］｜
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜（ｘ＋１）＾２－（ｘ＾２＋１）｜

　　　　　｜ｘ＾２－（１－√（ｘ＾２＋１））＾２｜
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜２ｘ｜

　　　　　｜ｘ＾２－１＋２√（ｘ＾２＋１）－ｘ＾２－１｜
＝Ｌｏｇ――――――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜２ｘ｜

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　　　　　　　　　　　　　　｜２ｘ｜

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＝Ｌｏｇ―――――――――
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＝Ｌｏｇ――――――――――――
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＝Ｌｏｇ――――――――――――
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