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x/(x^4 +1)の積分

解決済

  • 質問者：sugar-health
  • 質問日時：
  • 回答数：1件

自分の回答では置換積分法を使う事で　log|x^8 +1| /2　と出たのですが、回答には　arctanx^2/2　と記されていました。
頭の悪い私には「なんで急にarctanが出てて来たの！？」という感じで非常に混乱しています。
誰か教えて頂けませんでしょうか？

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A 回答 (1件)

No.1ベストアンサー

  • 回答者： info22_
  • 回答日時：

x^2=tとおくと


2xdx=dt

∫xdx/(x^4+1)dx
=(1/2)∫du/(u^2+1) (公式使用)
=(1/2)tan^-1(u)+C
=(1/2)tan^-1(x^2) +C
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この回答へのお礼

arctanに関する公式があるんですね。こちらの回答を拝見してから教科書を読んだらちゃんと書いてあったので、自分の不真面目さにがっかりしました。これからは真面目に勉強します。ありがとうございました。

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お礼日時：2011/01/26 00:51

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　　　　　｜ｘ－１＋√（ｘ＾２＋１）｜
　Ｌｏｇ　――――――――――――
　　　　　｜ｘ＋１＋√（ｘ＾２＋１）｜


　　　　　｜［ｘ－１＋√（ｘ＾２＋１）］［ｘ＋１ー√（ｘ＾２＋１）］｜
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――――――――――――
　　　　　　｜［ｘ＋１＋√（ｘ＾２＋１）］［ｘ＋１ー√（ｘ＾２＋１）］｜


　　　　　｜［ｘ－（１－√（ｘ＾２＋１））］［ｘ＋（１ー√（ｘ＾２＋１））］｜
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜（ｘ＋１）＾２－（ｘ＾２＋１）｜


　　　　　｜ｘ＾２－（１－√（ｘ＾２＋１））＾２｜
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜２ｘ｜


　　　　　｜ｘ＾２－１＋２√（ｘ＾２＋１）－ｘ＾２－１｜
＝Ｌｏｇ――――――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜２ｘ｜


　　　　　－１＋２√（ｘ＾２＋１）－１
＝Ｌｏｇ――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜２ｘ｜


　　　　　√（ｘ＾２＋１）－１
＝Ｌｏｇ―――――――――
　　　　　　　　｜ｘ｜


　　　　　［√（ｘ＾２＋１）－１］［√（ｘ＾２＋１）＋１］
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――――
　　　　　　　　｜ｘ［√（ｘ＾２＋１）＋１］｜


　　　　　　　　　｜ｘ＾２｜
＝Ｌｏｇ――――――――――――
　　　　　｜ｘ［√（ｘ＾２＋１）＋１］｜


　　　　　　　　　　　｜ｘ｜
＝Ｌｏｇ――――――――――――
　　　　　　√（ｘ＾２＋１）＋１


＝Ｌｏｇ｜ｘ｜－Ｌｏｇ［１＋√（ｘ＾２＋１）］
------------------------------------------------------------

1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|

　　　１　　　　　　　　√（ｘ＾２＋１）－１
　――― ・ Ｌｏｇ――――――――――――
　　　２　　　　　　　　√（ｘ＾２＋１）＋１


　　　１　　　　　　　　［√（ｘ＾２＋１）－１］［√（ｘ＾２＋１）＋１］
＝――― ・ Ｌｏｇ―――――――――――――――――
　　　２　　　　　　　　［√（ｘ＾２＋１）＋１］［√（ｘ＾２＋１）＋１］


　　　１　　　　　　　　　　　　｜ｘ＾２｜
＝――― ・ Ｌｏｇ――――――――――――
　　　２　　　　　　　　［√（ｘ＾２＋１）＋１］^２


　　　　　　　　　　　　｜ｘ｜
＝ Ｌｏｇ――――――――――――
　　　　　　　√（ｘ＾２＋１）＋１


＝Ｌｏｇ｜ｘ｜－Ｌｏｇ［１＋√（ｘ＾２＋１）］
-----------------------------------------------------------

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

　　　　　｜ｘ－１＋√（ｘ＾２＋１）｜
　Ｌｏｇ　――――――――――――
　　　　　｜ｘ＋１＋√（ｘ＾２＋１）｜


　　　　　｜［ｘ－１＋√（ｘ＾２＋１）］［ｘ＋１ー√（ｘ＾２＋１）］｜
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――――――――――――
　　　　　　｜［ｘ＋１＋√（ｘ＾２＋１）］［ｘ＋１ー√（ｘ＾２＋１）］｜


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　∫x(arcsinx)'dx
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＝lim｛(1+t)^(1/t)｝^-1　　　〔t→-0〕
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