数IIの問題です

α、β、rは鋭角で、tan α＝２、tan β＝５、tan r＝８のとき α＋β＋ｒをもとめよ

解説には

√３＜２＜５＜８であるから-(1)

tanπ/３＜tanα＜tanβ＜tanｒで

π/３＜α＜β＜r＜π/２である-(2)

ゆえにπ＜α＋β＋ｒ＜３π/２-(3)

とかいているのですがなぜ、(1)のように√３を基準にして考えるのか、
√３をなぜ使うのかもよくわかりません

それに(2)から(3)にする方法がよくわかりません

α＋β＋ｒにするとなぜ両辺に３をかけられているのですか

No.3 ベストアンサー 回答者： yoshi20a 回答日時： 2012/02/05 21:39

＞(1)のように√３を基準にして考えるのか、√３をなぜ使うのかもよくわかりません

2より小さくて、√3となるtanθのθがわかりやすいからです。

＞(2)から(3)にする方法がよくわかりません

αもβもｒもπ/3より大きいので、π/3＜α+β+ｒは理解できますよね？
一方、αもβもｒもπ/2より小さいので、α+β+ｒ＜3π/2です。

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/06 14:05

1 でもよいが、√3 のほうがセンスはよい

ように思う。
どちらでも α+β+γ を一つに決められるが、
tan が一意になるように範囲を制限しておくほうが、
話の通りが良いと思われるからだ。
ま、どちらでもよいのだけど。

No.6 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/02/06 13:01

＞√３をなぜ使うのかもよくわかりません

それは“1”でも良い。tan45°＝1だから　tanθのグラフを　0＜θ＜90°で考えると単調増加だから　tanα＜tanβ＜tanｒ。
よって、π/4＜α＜β＜r＜π/2　→　3π/4＜α＋β＋ｒ＜3π/2となる。
要するに、tan(α＋β＋ｒ)＝1より　0＜α＋β＋ｒ＜3π/2　から　α＋β＋ｒ＝π/4、or、5π/4の2つが出てくる。
その2つの値が条件に適するかどうか、を判断するための条件を求めているだけ。

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/02/06 10:18

この模範解答は、よくない。

次のようにすると良い。

α＋β＋ｒ＝(α＋β)＋γ　と考えると良い。
tan(α＋β)＝加法定理から＝-7/9＝xとし、tanr＝yとすると、x＝-7/9、y＝8の時、tan(α＋β＋γ)＝(x＋y)/(1-xy)の値を求めるだけ。

但し、0＜α＜π/2、0＜β＜π/2、0＜γ＜π/2　からすべて足すと　0＜α＋β＋γ＜3π/2　に注意する。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/05 22:00

π/3 の由来は、テキトーだと思います。

そもそも、これは α+β+γ の値を求める問題です。
質問の不等式を示しただけでは、解になりません。
ではなぜ、この不等式が出てきたかを想像すると…

tanα, tanβ, tanγ の値が判っていますから、
tan の加法定理を使うと tan(α+β+γ) の値を
求めることができます。
そこから α+β+γ の値を決めようとするとき、
α, β, γ が鋭角という条件だけでは
0 ＜ α+β+γ ＜ (3/2)π であって、
この範囲内に tan の値が同じになる数が
複数存在してしまいます。
事前に α+β+γ の範囲を少し絞り込んで
おかないと、α+β+γ が一つに定まらない訳です。

このため、tan の値が tanα より小さい所か
tanγ より大きい所に、θ の値が既知であるような tanθ を
見つけておきたかったのでしょう。
tan(π/3) = √3 ＜ 2 を、たまたま思いついた
ということだと思います。

No.2 回答者： asuncion 回答日時： 2012/02/05 21:23

＞√３をなぜ使うのか

1:2:√3の直角三角形を使うと、考えやすいからではないかと思います。

＞それに(2)から(3)にする方法がよくわかりません
＞π/３＜α＜β＜r＜π/２である-(2)

これは、下記の3つの式を1つにまとめたものです。

π/3<a<π/2
π/3<b<π/2
π/3<c<π/2

これら3つの式を足し合わせても不等号の向きには影響がありません。よって、
π<a+b+c<3π/2

No.1 回答者： sphenis 回答日時： 2012/02/05 21:22

＞√３をなぜ使うのかもよくわかりません

√３を使うのは、tanπ/3を１つの基準として問題を解いているからです。
tanπ/3=√３ですので、α、β、γが鋭角である(0＜α＜π/2、0＜β＜π/2、0＜γ＜π/2)という条件から、
√３＜２＜５＜８⇒tanπ/３＜tanα＜tanβ＜tanγ

＞(2)から(3)にする方法

α＝β＝γ＝π/3とすると、α＋β＋γ＝π
α＝β＝γ＝π/2とすると、α＋β＋γ＝3π/2
ですね。

しかし、実際の条件はπ/3＜α＜β＜r＜π/2です。
α、β、γはいずれもπ/3より大きくπ/2より小さいということですから、求めるα＋β＋γの値はα＝β＝γ＝π/3のときより大きく、α＝β＝γ＝π/2のときいより小さくなくてはいけません。
よって、π＜α＋β＋ｒ＜3π/2となります。