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α、β、rは鋭角で、tan α=2、tan β=5、tan r=8のとき α+β+rをもとめよ

解説には

√3<2<5<8であるから-(1)

tanπ/3<tanα<tanβ<tanrで

π/3<α<β<r<π/2である-(2)

ゆえにπ<α+β+r<3π/2-(3)

とかいているのですがなぜ、(1)のように√3を基準にして考えるのか、
√3をなぜ使うのかもよくわかりません

それに(2)から(3)にする方法がよくわかりません

α+β+rにするとなぜ両辺に3をかけられているのですか

A 回答 (7件)

>(1)のように√3を基準にして考えるのか、√3をなぜ使うのかもよくわかりません



2より小さくて、√3となるtanθのθがわかりやすいからです。

>(2)から(3)にする方法がよくわかりません

αもβもrもπ/3より大きいので、π/3<α+β+rは理解できますよね?
一方、αもβもrもπ/2より小さいので、α+β+r<3π/2です。
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1 でもよいが、√3 のほうがセンスはよい


ように思う。
どちらでも α+β+γ を一つに決められるが、
tan が一意になるように範囲を制限しておくほうが、
話の通りが良いと思われるからだ。
ま、どちらでもよいのだけど。
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>√3をなぜ使うのかもよくわかりません



それは“1”でも良い。tan45°=1だから tanθのグラフを 0<θ<90°で考えると単調増加だから tanα<tanβ<tanr。
よって、π/4<α<β<r<π/2 → 3π/4<α+β+r<3π/2となる。
要するに、tan(α+β+r)=1より 0<α+β+r<3π/2 から α+β+r=π/4、or、5π/4の2つが出てくる。
その2つの値が条件に適するかどうか、を判断するための条件を求めているだけ。
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この模範解答は、よくない。

次のようにすると良い。

α+β+r=(α+β)+γ と考えると良い。
tan(α+β)=加法定理から=-7/9=xとし、tanr=yとすると、x=-7/9、y=8の時、tan(α+β+γ)=(x+y)/(1-xy)の値を求めるだけ。

但し、0<α<π/2、0<β<π/2、0<γ<π/2 からすべて足すと 0<α+β+γ<3π/2 に注意する。
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π/3 の由来は、テキトーだと思います。



そもそも、これは α+β+γ の値を求める問題です。
質問の不等式を示しただけでは、解になりません。
ではなぜ、この不等式が出てきたかを想像すると…

tanα, tanβ, tanγ の値が判っていますから、
tan の加法定理を使うと tan(α+β+γ) の値を
求めることができます。
そこから α+β+γ の値を決めようとするとき、
α, β, γ が鋭角という条件だけでは
0 < α+β+γ < (3/2)π であって、
この範囲内に tan の値が同じになる数が
複数存在してしまいます。
事前に α+β+γ の範囲を少し絞り込んで
おかないと、α+β+γ が一つに定まらない訳です。

このため、tan の値が tanα より小さい所か
tanγ より大きい所に、θ の値が既知であるような tanθ を
見つけておきたかったのでしょう。
tan(π/3) = √3 < 2 を、たまたま思いついた
ということだと思います。
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>√3をなぜ使うのか



1:2:√3の直角三角形を使うと、考えやすいからではないかと思います。

>それに(2)から(3)にする方法がよくわかりません
>π/3<α<β<r<π/2である-(2)

これは、下記の3つの式を1つにまとめたものです。

π/3<a<π/2
π/3<b<π/2
π/3<c<π/2

これら3つの式を足し合わせても不等号の向きには影響がありません。よって、
π<a+b+c<3π/2
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>√3をなぜ使うのかもよくわかりません



√3を使うのは、tanπ/3を1つの基準として問題を解いているからです。
tanπ/3=√3ですので、α、β、γが鋭角である(0<α<π/2、0<β<π/2、0<γ<π/2)という条件から、
√3<2<5<8⇒tanπ/3<tanα<tanβ<tanγ

>(2)から(3)にする方法

α=β=γ=π/3とすると、α+β+γ=π
α=β=γ=π/2とすると、α+β+γ=3π/2
ですね。

しかし、実際の条件はπ/3<α<β<r<π/2です。
α、β、γはいずれもπ/3より大きくπ/2より小さいということですから、求めるα+β+γの値はα=β=γ=π/3のときより大きく、α=β=γ=π/2のときいより小さくなくてはいけません。
よって、π<α+β+r<3π/2となります。
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