f(z)=tan(z)のマクローリン展開に関して、 「sin(z)/cos(z) を珪砂してください

f(z)=tan(z)のマクローリン展開に関して、
「sin(z)/cos(z) を珪砂してください。
f(z)=(1/z)*{1 - z^2/3! + z^4/5! - ...}/{1 - z^2/2! + z^4/4! - ...}
ですから、
z*f(z)={1 - z^2/3! + z^4/5! - ...}/{1 - z^2/2! + z^4/4! - ...}
=c[0] + c[2]z^2 + c[4]z^4 + ...
として、
1 - z^2/3! + z^4/5! - ...
={1 - z^2/2! + z^4/4! - ...}*{c[0] + c[2]z^2 + c[4]z^4 + ...}
を展開し、係数比較をしてください。」
と教えて頂いたのですが、どうやっていきなりf(z)=(1/z)*{1 - z^2/3! + z^4/5! - ...}/{1 - z^2/2! + z^4/4! - ...}と導いたのでしょうか？

また、
f(z)=tan(z)のローラン展開の
「tan(z)=-cot(u)
=-1/u + u/3 + u^3/45 + (2/945)u^5 - ...,
(0<|u|<pi/2)」
の-1/u + u/3 + u^3/45 + (2/945)u^5 - ..., の式はどのようにして求めたのでしょうか？

いきなり-cot(u)から-1/u + u/3 + u^3/45 + (2/945)u^5 - ...,と導けたわけではないと思いますし、

-cot(u)から-1/u + u/3 + u^3/45 + (2/945)u^5 - ...,をどうやって導いたのか過程の計算を知りたいのです。

どうか教えて頂けないでしょうか。
どうかよろしくお願い致します。

No.8 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2024/05/07 10:11

'アレ' の内容など無視して、複素解析の参考書を最初からきちんと勉強したほうがいいということです。

　なにしろ、3年近くローラン展開についてまったく同じ質問を繰り返しているのですから。
　結局の所、算数レベルの知識による式変形だけでローラン展開を理解しようとするところに土台無理があります。
　おそらく、複素積分が線積分であることすら知らずに、ローラン展開に取り組んでいるはずです。
　本当に勉強すれば、中学レベルの数学からやり直さないといけないということが、とてもよくわかるでしょう。
　とはいうものの、また繰り返すのでしょうけどねwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

　数学の楽しみ方としては、それでもいいのでしょうが、普通に複素解析を勉強している人が、ローラン展開についてもっと知りたいと思って、このサイトで「ローラン展開」で検索しても、間抜けなＱ＆Ａしか出てこないので、さぞがっかりすることでしょう。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/07 09:27

＞ 「例のあの公式」とは何の公式の事でしょうか？

ピンと来ないくらいなら、そのほうが丁度いい。
もう、あの公式に拘泥するのはやめて、
ローラン展開は、今回のように捉えたほうが前向き
だと思うから、この質問の回答ではアレの内容には触れない。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/06 23:52

＞ 商がローラン展開になるような割り算なら、

＞ あなたが間違った式で 1/z を扱ったのと同じように
＞ 最後に残る分母を別扱いすれば済みます。
＞ の部分についていまいち理解出来なかったのですが、
＞ 申し訳ないのですが、もう少し噛み砕いて詳しく

そのことを解説した No.5 への返信が再度ソレでは、
さすがに気力が萎えてきますね...
あなたは、私には無理なのかもしれない。

もうじき、例の mさんが、話題ぶった切りで
tan x の x=π/2 中心のローラン展開を
長々計算してみせてくれるんじゃないですか？
ノートへコピーするなら、そちらがよいでしょう。


とはいえ、もうすこし補足は試みるかな。

No.4 で -cot u を u=0 中心にローラン展開したとき、
-cot u = -(cos u)/(sin u)
= - { 1 - u^2/2! + u^4/4! - ... }/{ u - u^3/3! + u^5/5! - ... }
と cot を 整関数/整関数 の形に変形して、
分子分母をそれぞれマクローリン展開しました。

このとき、分母の関数が展開中心 u=0 を零点に持つため、
冪級数の割り算の手順として
分子から分母の多項式倍を引くことで分子の最低次数を上げようとしても、
分母に掛ければよい多項式が見つかりません。

これを避けるため、分母の関数から u=0 で値が 0 になる因子を括りだして
冪級数の割り算から分離してしまおうと考えます。
幸い、分母 = u { 1 - u^2/3! + u^4/5! - ... } であり
1 - u^2/3! + u^4/5! - ... は u=0 のとき 0 にならない
という分母の因子 u は簡単に見つかります。
それが、分母をマクローリン展開した値打ちです。

すると、最初の式の右辺の割り算は
-cot u = - { 1 - u^2/2! + u^4/4! - ... }/{ u - u^3/3! + u^5/5! - ... }
= - { 1 - u^2/2! + u^4/4! - ... }/[ u { 1 - u^2/3! + u^4/5! - ... } ]
= (-1/u) { 1 - u^2/2! + u^4/4! - ... }/{ 1 - u^2/3! + u^4/5! - ... }
と変形されて、-1/u と
u=0 で正則な関数 { 1 - u^2/2! + u^4/4! - ... }/{ 1 - u^2/3! + u^4/5! - ... }
の積になります。

ここに現れる { 1 - u^2/2! + u^4/4! - ... }/{ 1 - u^2/3! + u^4/5! - ... } とか
No.3 での { z - z^3/3! + z^5/5! - ... }/{ 1 - z^2/2! + z^4/4! - ... } とか
のような、商が展開中心で正則な関数となる冪級数の割り算は、
ほぼ多項式の割り算と同様の手順なので簡単に行える
...という話を延々しているのです。

今回、もともと質問文できいているのは、
マクローリン展開どうしの割り算についてでしたよね？


商が展開中心で正則でない(テイラー展開可能でない)場合には
別の工夫が必要で、特に展開中心が商の極である場合なら
ここに書いたような操作が使えるよ...ということです。

そしてこの操作は、あなたがここのサイトで繰り返し繰り返し質問している
例のあの公式とも繋がっているんだよ...というのが、
No.5 の後半に書いた話です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> 例のあの公式とも繋がっているんだよ...というのが、
No.5 の後半に書いた話です。

すいません。「例のあの公式」とは何の公式の事でしょうか？
テイラー展開の事でしょうか？
どうか教えて頂けないでしょうか。

お礼日時：2024/05/07 04:30

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/06 15:50

＞ ここの (-1/u) に現れてますね。

＞ の部分についていまいち理解出来なかったのですが、

おそらく、No.3 No.4 の説明がローラン展開の一般論にならない
ことに気づいていて、補足を求めてるんでしょうが...
人が悪い。

No.3 では tan のテーラー展開(0中心)を、
No.4 では cot のローラン展開(0中心)を扱いました。
tan も、中心によってはローラン展開になります。
tan, cot の共通点は、有理形関数だということです。
No.3 No.4 の手順は、有理形関数をローラン展開する方法なのでした。
展開中心が目的の関数の真性特異点であれば、この方法は使えません。
２度の補足要求でツッコみたかったのは、そこですね？

特異点として孤立した極しか持たない複素関数を有理形関数といいます。
分数式が 多項式/多項式 の形で書けるのと似た現象で、
有理形関数は 整関数/整関数 の形で書けます。
分子分母をそれぞれテイラー展開した上で、分母が中心を零点に持たないように
No.4 の 1/u のように分母の零因子を括りだせば、
残った分数式が展開中心で正則になって、テイラー展開できるようになります。
Ｎo.3 No.4 では、そのテイラー展開を冪級数の割り算で計算しています。

よく教科書に載っている極におけるローラン展開の手順は、
展開したい関数を 整関数/整関数 の形に変形することなく
極の位数を考えることから 1/u にあたるものを見つけ、
u cot u を直接テイラー展開することで、
迂遠な計算をとばしているのです。

No.4 で行った冪級数の割り算は
u cot u = { 1 - u^2/2! + u^4/4! - ... }/{ 1 - u^2/3! + u^4/5! - ... }
を冪級数の形で表した... つまりテイラー展開したことにあたります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの、

ありものがさり様から頂いたNo.3の解答において、

>> 商がローラン展開になるような割り算なら、
あなたが間違った式で 1/z を扱ったのと同じように
最後に残る分母を別扱いすれば済みます。

の部分についていまいち理解出来なかったのですが、申し訳ないのですが、もう少し噛み砕いて詳しく教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/05/06 23:12

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/05 12:57

後半：

それは、tan z の z = π/2 中心のローラン展開を、
z - π/2 = u で置換して
-cot u の u = 0 中心のローラン展開として考えようって話ですね。
中心が 0 のほうが、気分的に、式が扱いやすいですからね。

cot u = (cos u)/(sin u) に対して、
質問前半と似たような操作をするだけです。
cos と sin をマクローリン展開して、
cos u = 1 - u^2/2! + u^4/4! - ...,
sin u = u - u^3/3! + u^5/5! - ...
より、
tan z = -cot u = -(cos u)/(sin u)
= - { 1 - u^2/2! + u^4/4! - ... }/{ u - u^3/3! + u^5/5! - ... }
= (-1/u) { 1 - u^2/2! + u^4/4! - ... }/{ 1 - u^2/3! + u^4/5! - ... }

ここに現れる割り算
{ 1 - u^2/2! + u^4/4! - ... }÷{ 1 - u^2/3! + u^4/5! - ... } を
前半と同様に計算すれば、商として
1 + (-1/3)u^2 + (-1/45)u^4 + (-2/946)u^6 + ...
が現れます。これを使って、
tan z = -cot u
= (-1/u) {1 + (-1/3)u^2 + (-1/45)u^4 + (-2/946)u^6 + ... }
= -1/u + (1/3)u + (1/45)u^3 + (2/946)u^5 + ...

No.3 の最後で触れた、展開がマクローリン展開にならない場合の処理が
ここの (-1/u) に現れてますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

tan z = -cot u
= (-1/u) {1 + (-1/3)u^2 + (-1/45)u^4 + (-2/946)u^6 + ... }
= -1/u + (1/3)u + (1/45)u^3 + (2/946)u^5 + ...
の展開はf(z)=tan(z)のローラン展開の式だとわかりました。
後はこのローラン展開の式に含まれるuにu=z-π/2より、z-π/2を代入すれば良いとわかりました。


>>No.3 の最後で触れた、展開がマクローリン展開にならない場合の処理が
ここの (-1/u) に現れてますね。

の部分についていまいち理解出来なかったのですが、申し訳ないのですが、もう少し噛み砕いて詳しく教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/05/06 05:54

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/05 12:41

前半：

f(z) = ( z )*{ 1 - z^2/3! + z^4/5! - ... }/{ 1 - z^2/2! + z^4/4! - ... }
の間違いなんだが、まあそれは微笑ましいタイプミスとして...

この式は、sin, cos それぞれのマクローリン展開
sin z = z - z^3/3! + z^5/5! - ...,
cos z = 1 - z^2/2! + z^4/4! - ...
を使って
f(z) = tan z = (sin z)/(cos z)
= { z - z^3/3! + z^5/5! - ... }/{ 1 - z^2/2! + z^4/4! - ... }
= z { 1 - z^2/3! + z^4/5! - ... }/{ 1 - z^2/2! + z^4/4! - ... }
と分子から共通因子 z を括り出すことで得られます。

各 c[ ] を求めるには、別に、z を括り出したり、質問文中の解説のように
掛け算の形に変形しなくても、普通に
冪級数を筆算で割り算すればいいだけですが。

無限小数の割り算が、ただ桁が終わらないだけで
有限小数の割り算と同じ操作なのと同様に、
冪級数の割り算も、多項式の割り算と
やることは違いません。
答を何次の項まで求めたいか最初に決めて、
商の各次の係数を計算するときに
途中計算を必要な次数までやっとくだけのことです。

筆算をここに書くのは難しいのだけれど...
{ z - z^3/3! + z^5/5! - ... }÷{ 1 - z^2/2! + z^4/4! - ... } なら、
まず、商の一番低次の項として z が立つ。
割られる式 z - z^3/3! + z^5/5! - ... から
割る式 1 - z^2/2! + z^4/4! - ... の z 倍を引けば、
最低次の項が消えて
{ z - z^3/3! + z^5/5! - ... } - ｚ { 1 - z^2/2! + z^4/4! - ... }
= (-1/3! + 1/2!)z^3 + (1/5! - 1/4!)z^5 + ...

次に、この (-1/3! + 1/2!)z^3 + (1/5! - 1/4!)z^5 + ...
をまた 1 - z^2/2! + z^4/4! - ... で割ることを考えると、
商の次の項として (-1/3! + 1/2!)z^3 が立つ。
(-1/3! + 1/2!)z^3 + (1/5! - 1/4!)z^5 + ... から
1 - z^2/2! + z^4/4! - ... の (-1/3! + 1/2!)z^3 倍を引くと、
{ (-1/3! + 1/2!)z^3 + (1/5! - 1/4!)z^5 + ... }
　- (-1/3! + 1/2!)z^3 { 1 - z^2/2! + z^4/4! - ... }
= { (1/5! - 1/4!) + (-1/3! + 1/2!)(1/2!) }z^5 + ...

こうして、商の各項が z + (-1/3! + 1/2!)z^3 + ...
と順に求まってゆきます。
これを、欲しい桁まで繰り返すだけです。

こんなことができるのは、tan z が z = 0 の近傍で正則で
マクローリン展開が可能だって、あらかじめ判っているからですけどね。
商がローラン展開になるような割り算なら、
あなたが間違った式で 1/z を扱ったのと同じように
最後に残る分母を別扱いすれば済みます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> 商がローラン展開になるような割り算なら、
あなたが間違った式で 1/z を扱ったのと同じように
最後に残る分母を別扱いすれば済みます。

の部分についていまいち理解出来なかったのですが、申し訳ないのですが、もう少し噛み砕いて詳しく教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/05/06 05:50

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/05 04:49

f(z)=(1/z)*{1 - z^2/3! + z^4/5! - ...}/{1 - z^2/2! + z^4/4! - ...}

は
間違っている

f(z)=tan(z)
ならば
z=0
のとき
f(0)=tan(0)=sin(0)/cos(0)=0/1=0
f(0)=0
になるはずなのに

f(z)=(1/z)*{1 - z^2/3! + z^4/5! - ...}/{1 - z^2/2! + z^4/4! - ...}
で
z=0とすると

f(0)=(1/0)*{1 - 0^2/3! + 0^4/5! - ...}/{1 - 0^2/2! + 0^4/4! - ...}
f(0)=1/0
f(0)=1/0=∞
となって

f(z)=(1/z)*{1 - z^2/3! + z^4/5! - ...}/{1 - z^2/2! + z^4/4! - ...}
の
右辺はz=0のとき発散して定義できないから

f(z)≠(1/z)*{1 - z^2/3! + z^4/5! - ...}/{1 - z^2/2! + z^4/4! - ...}
だから

f(z)=(1/z)*{1 - z^2/3! + z^4/5! - ...}/{1 - z^2/2! + z^4/4! - ...}
は
間違いだから導くことはできない

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/05 04:46

f(z)=(1/z)*{1 - z^2/3! + z^4/5! - ...}/{1 - z^2/2! + z^4/4! - ...}

は
間違っている

f(z)=tan(z)
ならば
z=0
のとき
f(0)=tan(0)=sin(0)/cos(0)=0/1=0
f(0)=0
になるはずなのに

f(z)=(1/z)*{1 - z^2/3! + z^4/5! - ...}/{1 - z^2/2! + z^4/4! - ...}
で
z=0とすると

f(0)=(1/0)*{1 - 0^2/3! + 0^4/5! - ...}/{1 - 0^2/2! + 0^4/4! - ...}
f(0)=1/0
f(0)=1/0=∞
となって

f(z)=(1/z)*{1 - z^2/3! + z^4/5! - ...}/{1 - z^2/2! + z^4/4! - ...}
の
左辺はz=0のとき発散して定義できないから

f(z)≠(1/z)*{1 - z^2/3! + z^4/5! - ...}/{1 - z^2/2! + z^4/4! - ...}
だから

f(z)=(1/z)*{1 - z^2/3! + z^4/5! - ...}/{1 - z^2/2! + z^4/4! - ...}
は
間違い