三角関数について tan1/√3 が30°になる理由が分かりそうで分かりません。 ①は単位円なので1

三角関数について

tan1/√3 が30°になる理由が分かりそうで分かりません。

①は単位円なので1
②はtan1/√3より√3
③は②と同様の理由で1

①の認識が間違っていますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/12/03 13:21

＞tan1/√3 が30°になる理由

なりません。

tan(30°) = 1/√3

です。

手書きの図が「単位円」だとすれば
角度は -30°（または 330°）
① = 1
で、
② = (√3)/2
③ = -1/2（「長さ」ではなく「座標」）
になります。

従って
　tan(-30°) = -1/√3
の図になっています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
②や③はどうやって求めますか？

お礼日時：2022/12/03 14:15

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/03 20:27

tan1/√3 が30°になりません

tan(30°)=1/√3 になるのです
②はcos(-30°)=√3/2
③はsin(-30°)=-1/2

0=cos(90°)
=cos(60°+30°)
=cos(60°)cos(30°)-sin(60°)sin(30°)
=(2{cos(30°)}^2-1)cos(30°)-2cos(30°){sin(30°)}^2
=cos(30°){2{cos(30°)}^2-1-2(1-{sin(30°)}^2)}
=cos(30°){4{cos(30°)}^2-3}

cos(30°)≠0だから

4{cos(30°)}^2-3=0
{2cos(30°)+√3}{2cos(30°)-√3}=0
↓2cos(30°)+√3>0だから
2cos(30°)=√3
∴
cos(30°)=√3/2…②

sin(30°)
=√(1-{cos(30°)}^2)
=√{1-(√3/2)^2}
=√(1-3/4)
=√(1/4)
=1/2

∴
sin(30°)=1/2

tan(30°)
=sin(30°)/cos(30°)
=1/2/(√3/2)
=1/√3

∴
tan(30°)=1/√3

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/03 14:54

＞ ②はtan1/√3より√3

これは間違い。

そもそも図が間違っていて、
tan が正になるには cos と sin が同符号だから
求めたい動径は第１象限と第3象限にあるんだけど。

正しい図は、写真の図を x軸で反転したような形になる。
その上で、第１象限の直角三角形を考えると
①から ②^2 + ③^2 = 1,
tan = 1/√3 から ③/② = 1/√3 で、
これを ②,③ の連立方程式と見れば
②^2 = 1/4, ③^2 = 3/4 と解ける。

第1象限の動径では、②>0, ③>0 だから ② = 1/2, ③ = (√3)/2、
第3象限の動径では、②<0, ③<0 だから ② = -1/2, ③ = -(√3)/2
となる。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/12/03 14:49

そりゃ、どんなに優秀な数学者でも解らない。

tan30°=1/√3とか、arctan(1/√3)=30°なら、解る。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/12/03 14:24

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞②や③はどうやって求めますか？

角度が「30°」であればそうなることが分かっているからです。

もし、角度が分からず、②も③も分からないなら、②③はひとつには定まりません。
単に
　sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 = ①^2　　　(A)
となるだけで
　② = cos(θ)
　③ = sin(θ)
となって、θ が決まらなければ②も③も決まりません。

①と②、あるいは①と③が分かっていれば、残りは(A)の式、つまり「三平方の定理」から求まります。

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2022/12/03 13:25

直角三角形にはピタゴラスの定理(三平方の定理)があります。

一角が30度の直角三角形は、
直角を挟む短辺を「1」とするとき、
同長辺は「2」、斜辺は「√3」という関係になります。