原点からの距離

先ほどから、楕円についての質問を何度かさせていただいています。　回答してくださった方、ありがとうございます。
もう一つ、お願いします。

ある角度θの時、原点から弧（でいいのでしょうか？）までの長さを求めるにはどうしたらいいでしょうか？
添付画像のXの長さです。

(x,y)とθがわかれば、簡単に計算する方法があった気がするのですが、記憶が定かではありませんし、
できることなら角度とa,bから1つの式で長さが出せれば・・・と思います。

何度もご迷惑をおかけしますが、よろしくお願いします。

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/11/14 01:38

　原点Oから楕円上の点Pまでの距離OPを求めたいのですね。

　それなら、先ほどの質問に対する回答で分かった　x、y　を使って三平方の定理で求めます。


＞　　x=acosφ=±a/√{1+(tanφ)^2}=±ab/√{b^2+a^2 (tanθ)^2}
＞　　　（ただし　正：第1象限・第4象限のとき、　負：第2象限・第3象限のとき）
＞　　y=bsinφ=btanφcosφ=±abtanθ/√{b^2+1^2 (tanθ)^2}
＞　　　（ただし　正：第1象限・第2象限のとき、　負：第3象限・第4象限のとき）


　三平方の定理から
　OP^2=x^2+y^2
　　　=[±ab/√{b^2+a^2 (tanθ)^2}]^2+[±abtanθ/√{b^2+1^2 (tanθ)^2}]^2
　　　=(ab)^2 {1+(tanθ)^2}/{b^2+a^2 (tanθ)^2}
　　　=(ab)^2 /[(cosθ)^2 {b^2+a^2 (tanθ)^2}]

∴OP=ab/[|cosθ|√{b^2+a^2 (tanθ)^2}]

　ちなみに、θを使わずに単に(x,y)だけで表すなら次のようになります。

　OP=√(x^2+y^2)

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/11/14 00:58

こんばんわ。

＞(x,y)とθがわかれば、簡単に計算する方法があった気がするのですが、記憶が定かではありませんし、
＞できることなら角度とa,bから1つの式で長さが出せれば・・・と思います。
わたしの認識では、残念ながら簡単ではないかと・・・
というのは、
楕円上の点と原点を結んでできる角（φ）と媒介変数表示として与えられている角（θ）は一致しないからです。

もう少し具体的に言い換えると、次のようになります。
「楕円上の点は、(a* cos(θ), b* sin(θ))と表すことができるが、このθは x軸となす角ではない」


楕円は、円を一方向に引き延ばした（or 押し縮めた）図形になります。
添付の図では、y軸方向を b/a倍していることになります。

参考になれば幸いです。