tanx/2=tとおき、不定積分∫dx/5sinx＋3を求めよ。 不定積分で、tanx/2=tと置く

tanx/2=tとおき、不定積分∫dx/5sinx＋3を求めよ。

不定積分で、tanx/2=tと置く置換積分を習いました。(写真が見ずらくてすいません…)

置換積分では、置換したxとtが一対一で対応できるような置換の仕方をしないといけないと習ったのですが、tanx/2=tだと、tanのグラフからして、一対一で対応しないものが出てきませんか？
例えば、t=1のとき、x=π/2、5/2π、9/2πなど複数のxが出てきてしまいます。

質問者からの補足コメント

• 回答です。
  
  こちらも見づらくてすいません。
  このサイトの画質の問題みたいです。

  
    補足日時：2021/01/04 09:24

No.14 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/04 14:30

tan(x/2) の連続な枝の中で

x と t が一対一に対応すればokです。
例えば、 x の範囲が -π<x<π ならば、
t=1 に対応するのは x=π/2 だけです。
x の範囲が π<x<3π ならば、
t=1 に対応するのは x=(5/2)π です。
不定積分の x が属する tan(x/2) が連続な区間ごとに
t と x の対応は異なるし、積分定数も異なってきます。

この回答へのお礼

なるほど！
確かに連続な直線の範囲でのみ考えればいいですね。
考えてもいませんでした。
悩んでたことがようやく分かりました！
ありがとうございます！！

ただ、その場合、｢-π＜x＜πとする｣などの断り書きは何も書かなくていいのでしょうか？
ここの解答には何も書いてありませんが、これでは不十分になってしまったりしませんか？
何度もすいません。できればもう一度回答して教えていただけるとありがたいですm(_ _)m

お礼日時：2021/01/04 20:00

No.15 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/04 22:03

＞ ただ、その場合、｢-π＜x＜πとする｣などの断り書きは何も書かなくていいのでしょうか？

＞ ここの解答には何も書いてありませんが、これでは不十分になってしまったりしませんか？

x が属する tan(x/2) が連続な区間ごとに、ｔ と対応する x は異なるのだけれど、
計算の最後で t に tan(x/2) を代入するとき、制限した変域では t と x が一対一
に対応することによって、その差異は吸収されて式から無くなる。
このため、｢-π＜x＜πとする｣などの断り書きは特に必要ない。

ただし、
不定積分の結果は、tan(x/2) が連続なひとつの区間上でしか意味を持たない。
式の見た目は同じでも、 -π＜x＜π での不定積分と π＜x＜(5/2)π での
不定積分は別個の関数と見たほうがよく、積分定数 C の値はそれぞれ異なる。

この回答へのお礼

なるほど！
とても分かりやすくて興味深い話でした！

確かに、特に断りをする必要はなくても、変域によって積分定数は変わってきてしまいますね。

色々とありがとうございました！

お礼日時：2021/01/05 17:13