質問したい事が2つあります。 ①、以前に質問した2024.5.8 08:24の質問の2024.5.9

質問したい事が2つあります。


①、以前に質問した2024.5.8 08:24の質問の2024.5.9 11:17の解答や2024.5.9 17:30の解答より、

f(z)=tan(z)のローラン展開は導く為に、
g(z)=tan(z)(z-π/2)の式を使って、
g(z)=tan(z)(z-π/2)の式をテイラー展開して、
テイラー展開したg(z)=tan(z)(z-π/2)の式の各a(n)を求める為にテイラー展開の係数を求めるa(n)=g(n)(a)/n!の式を使ってa(-1)、a(0)、a(1)、a(2)の値を求めてから、g(z)=tan(z)(z-π/2)のテイラー展開の式を(z-π/2)で割って、f(z)=tan(z)のローラン展開は導くと教えて頂きましたが、

その上で、
a(a)=g(n)(a)/n!をの式を使って、 g(z)=tan(z)(z-π/2)のz=π/2でのテイラー展開のn=-1、n=0、n=1、n=2の時のa(-1)、a(0)、a(1)、a(2)の値を求めるまでの過程の計算をわかりやすく教えて頂けないでしょうか？



②、2024.4.22 09:12の質問の2024.4.22 14:01の解答のに書かれたURLでは
「g(z)=tan(z)(z-π/2)の式はz=π/2の時、正則ではない」みたいな事が書かれていましたが、

2024.4.26 06:08の質問の2024.4.28 08:59の解答や2024.4.30 10:15の解答より、

g(z)=tan(z)(z-π/2)の式はz=π/2の時、
g(z)=tan(z)(z-π/2)は正則ではない為、テーラー展開はできないと言われたのですが、
g(π/2)=(z-π/2)tan(z)=-1と収束する為、g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則である為、
g(z)=tan(z)(z-π/2)の式はz=π/2の時、テーラー展開出来ると思うのですが、この考えは正しいでしょうか？

もし間違っている場合は間違っている理由をわかりやすく教えて下さい。

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• mtrajcp様、ありがとうございます。
  2024.8.21 19:51の解答より、
  g(z)=tan(z)(z-π/2)はz=π/2で正則なので、
  以前バカ田大学さんから頂いた、
  画像の赤い下線部の
  「g(z)=tan(z)(z-π/2)はz=π/2で正則ではない。」ではなく、正しくは、
  「g(z)=tan(z)(z-π/2)はz=π/2で正則である為」と言う事でしょうか？

  
    補足日時：2024/08/22 20:24

• 田大学様、2024.8.23 17:39に頂いた解答の2024.8.23 18:20の「質問者さんからのお礼」に書いた2つの疑問に関して答えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/08/24 19:29

No.8 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2024/08/23 17:39

lim で記号の間違いがあった。

wwwwwwwwwwwwwwww
　　lim[z=π/2] ×
　　lim[z→π/2] 〇
ま、すぐわかるだろうけど。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

なるほど、バカ田大学様から頂いた

「しかし、(3)は、特異点からわずかに外れた周囲の点、たとえば

　　z1 = π/2 - 0.0000000000000000000000000000000001

では
　　g(z1)≒-1
になることを示している。つまり、z を z≠π/2 の状態で、z = π/2 に限りなく近づければ、g(z) も限りなく有限確定値 -1 に近づく。
　そこで、改めて

　　z≠π/2のとき g(z) = (z-π/2)tan(z)
　　z=π/2のとき　g(z) = g(π/2) = -1

と '定義' するのだ。」

の解答の過程の計算を踏まえて、
z=π/2の時、g(z)=(z-π/2)tan(z)=-1と定義した為、
初めてz=π/2の時、あるいはz→π/2の時、
g(z)=(z-π/2)tan(z)は正則だと言えるとわかりました。



ただ疑問が2つあります。

まず、1つ
「g(z) = (z-π/2)tan(z) は、z = π/2 で収束し、有限確定値 -1 を持つ。

　つまり、

　　lim[z=π/2]g(z) = -1 …… (3)

である。ただし、依然として

　　g(z) は z = π/2 で定義されていない
のだから、
　　g(z) は z = π/2 で正則ではない」

に関して、g(z)=(z-π/2)tan(z)は、z=π/2で収束し、有限確定値 -1を持つ事がわかった事で、g(z)はz=π/2で定義されたと思ったのですが、なぜg(z)はz=π/2で定義されないのでしょうか？


2つ、なぜg(z)はz=π/2で定義されていないとg(z)はz=π/2で正則ではないと言われてしまうのでしょうか？


どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/08/23 18:20

No.7 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2024/08/23 08:58

名前を出された上に、いかげんな引用をされたから仕方なく回答する（笑）。

　それにしても、判別できない画像を示されても、だれもわからんぞ。

　tan(z) は z = π/2 で定義されていない。つまり、tan(z) は z = π/2 で特異点を持つ。当然 tan(z) は z = π/2 で正則ではない。

　もし、z→π/2 のとき (z-π/2)tan(z) が収束すれば z = π/2 は tan(z) の一位の極であるから

　　tan(z) = b1/(z-π/2) + Σ[n=0→∞]a(n)(z-π/2)^n …… (1) b1≠0

のように

　　　'ローラン展開できるはず'

である。できるかどうか確認するため、まず(1)の両辺に z-π/2 をかける。

　　(z-π/2)tan(z) = b1 + Σ[n=0→∞]a(n)(z-π/2)^(n+1) …… (2)

　(2)の左辺を

　　g(z) = (z-π/2)tan(z)

とおく。g(z) はtan(z) に z-π/2 をかけただけだから、g(z) は z = π/2 で定義されていない。つまり z = π/2 で正則ではない。しかし、まことにありがたいことに

　　lim[z=π/2](z-π/2)tan(z)
　= lim[z=π/2]( b1 + Σ[n=0→∞]a(n)(z-π/2)^(n+1) )
　= b1
　　b1 = lim[z=π/2](z-π/2)tan(z)
　　　 = lim[z=π/2]( (z-π/2)sin(z) )/(cos(z) )
　　　 = lim[z=π/2]( (z-π/2)sin(z) )'/(cos(z))'
　　　 = lim[z=π/2]( sin(z)+(z-π/2)cos(z) )/(-sin(z)) = -1

であるから、g(z) = (z-π/2)tan(z) は、z = π/2 で収束し、有限確定値 -1 を持つ。

　つまり、

　　lim[z=π/2]g(z) = -1 …… (3)

である。ただし、依然として

　　g(z) は z = π/2 で定義されていない
のだから、
　　g(z) は z = π/2 で正則ではない

ことに変わりはない。しかし、(3)は、特異点からわずかに外れた周囲の点、たとえば

　　z1 = π/2 - 0.0000000000000000000000000000000001

では
　　g(z1)≒-1
になることを示している。つまり、z を z≠π/2 の状態で、z = π/2 に限りなく近づければ、g(z) も限りなく有限確定値 -1 に近づく。
　そこで、改めて

　　z≠π/2のとき g(z) = (z-π/2)tan(z)
　　z=π/2のとき　g(z) = g(π/2) = -1

と '定義' するのだ。これでめでたく g(z) は z = π/2 で正則になるから、g(z) は z = π/2 でテーラー展開できる。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/21 19:51

z→π/2 のとき　(z-π/2)tan(z) が　-1 に収束する為、

z≠π/2のときg(z)=(z-π/2)tan(z)
z=π/2のときg(π/2)=-1
と定義した
g(z)はz=π/2で正則である為
g(z)はz=π/2で,テーラー展開できるという事です

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/21 16:47

a(n)

というのは
f(z)=tan(z)のローラン展開
f(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
の
(z-π/2)^n
の
係数
a(n)
を表すのです

tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n

↓両辺に(z-π/2)をかけると

tan(z)(z-π/2)
=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^(n+1)
=Σ[n=0～∞]a(n-1)(z-π/2)^n

だから

z≠π/2のときg(z)=tan(z)(z-π/2)
z=π/2のときg(π/2)=-1
としたときの
g(z)のテイラー展開

g(z)
=Σ[n=0～∞]{g^(n)(π/2)/n!}(z-π/2)^n
=Σ[n=0～∞]a(n-1)(z-π/2)^n
=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…

のn次の係数は

a(n-1)=g^(n)(π/2)/n!
だから

a(n)はn+1次の係数になるから

a(n)=g^(n+1)(π/2)/(n+1)!
={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){tan(z)(z-π/2)}

だから

a(-1)=g(π/2)=-1

a(0)
=g'(π/2)
=lim[z→π/2](d/dz){tan(z)(z-π/2)}
=0

a(1)
=g"(π/2)/2
=(1/2)lim[z→π/2](d/dz)^2{(z-π/2)tan(z)}
=1/3

a(2)
=g"'(π/2)/3!
={1/3!}lim[z→π/2](d/dz)^3{tan(z)(z-π/2)}
=0

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/21 04:15

a(n)

というのはn次の係数を表すのです

f(z)=tan(z)のローラン展開

f(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
の
n次項
(z-π/2)^n
の
係数
a(n)
を表すのです

ところが

z≠π/2のときg(z)=tan(z)(z-π/2)
z=π/2のときg(π/2)=-1
としたときの
g(z)のテイラー展開

g(z)
=Σ[n=0～∞]{g(n)(π/2)/n!}(z-π/2)^n
=Σ[n=0～∞]a(n-1)(z-π/2)^n
=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…

の
n次項(z-π/2)^n
の係数は
a(n-1)
となるのです

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/20 21:08

No.2 回答者に警告。

君はいつも計算だけ羅列する回答を繰り返しているが、
その結果として、同じような質問を何の改善もなく繰り返す
この質問者を何らか改善したか？について、反省が必要だ。
数学は、計算じゃあない。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/20 19:37

①

a(a)=g(n)(a)/n!は間違っています

a(n-1)=g^(n)(π/2)/n!
か
a(n)=g^(n+1)(π/2)/(n+1)!
に
なります

f(z)=tan(z)のローラン展開は

f(z)
=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+…

z≠π/2のときg(z)=tan(z)(z-π/2)
z=π/2のときg(π/2)=-1
としたときの
g(z)のテイラー展開は

g(z)
=Σ[n=0～∞]{g(n)(π/2)/n!}(z-π/2)^n
=Σ[n=0～∞]a(n-1)(z-π/2)^n
=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…

a(n-1)=g^(n)(π/2)/n!
だから

a(n)=g^(n+1)(π/2)/(n+1)!
={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){tan(z)(z-π/2)}

②
g(z)=tan(z)(z-π/2)ではありません

z≠π/2のときg(z)=tan(z)(z-π/2)
z=π/2のときg(π/2)=-1

と　g(z)を定義するのです

この回答へのお礼

g(π/2)=(z-π/2)tan(z)=-1と収束する為、z=π/2のときg(π/2)=-1と定義できる為、g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則である為、
g(z)=tan(z)(z-π/2)の式はz=π/2の時、テーラー展開出来ると言う事でしょうか？

お礼日時：2024/08/21 16:45

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/20 18:41

①

＞ a(-1)、a(0)、a(1)、a(2)の値を求めるまでの過程の
＞ 計算をわかりやすく教えて頂けないでしょうか？

わかりやすくも何も、
あなた自身が質問文中に書いてる手順のとおりです。

tan(z)(z-π/2) の z=π/2 を中心にとするテイラー展開を
3次項まで求めましょう。
そのためには、g(z) = tan(z)(z-π/2) を３回微分すればよいです。
tan(z)(z-π/2) = g(π/2) + g’(π/2) (z-π/2) + {g”(π/2)/2}(z-π/2)^2 + {g”’(π/2)/6}(z-π/2)^3 + ...
より
tan(z) = g(π/2)/(z-π/2) + g’(π/2) + {g”(π/2)/2}(z-π/2) + {g”’(π/2)/6}(z-π/2)^2 + ...
です。この式の右辺を見れば、a(-1), a(0), a(1), a(2) が判りますね。

②
tan(z)(z-π/2) は、z=π/2 に対しては値が定義されないのですが、
g(π/2) = lim[z→π/2] g(z) で定義を追加すると
g(z) は z=π/2 でも正則になります。
(x^2 - 1)/(x - 1) の x=1 とかも似たような話ですよね。

このように、定義されていない場所での値を上手く定義して埋めると
正則になるような場合を「可除特異点」といいます。
形式的には特異点だけど、実質的には正則点みたいなもの
と考えて、正則になるように定義を追加して考えるのが通常です。
参考↓