地上にいる人が高さ200mの高層ビルの屋上に立っている高さ50mの鉄塔をみる。
鉄塔の上端をA、この人をB、鉄塔の下端をCとするとき、
∠ABCが最大となるのは、この人がビルから何m離れた時か?
ただし、この人の身長は無視することとし、また、ビルや鉄塔の水平方向の大きさも無視する。
∠ABCが最大⇔tan∠ABCが最大(0°<∠ABC<90°)
だから、それを使いますよね…?
相加・相乗平均の関係を使うらしいんですが、
そのときはいつも最小値の問題だから、
最大値を求められるのが不思議です
解ける方いらっしゃいましたら、
教えてください。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
A、Cの真下の地上の位置をDとし、BD=x(>0)とすると
tan∠ABC=tan(∠ABD-∠CBD)
=(tan∠ABD-tan∠CBD)/(1+tan∠ABD*tan∠CBD)
ここで
tan∠ABD=AD/BD=(200*50)/x=250/x,
tan∠CBD=CD/BD=200/x なので
tan∠ABC=((250/x) -(200/x))/(1+(250/x)(200/x))
=50/(x+(50000/x)) ...(◆)
>最小値の問題だから、
>最大値を求められるのが不思議です
ここで(◆)の分母に相加平均・相乗平均の関係を適用するので
分母の最小値が求められ、(◆)の式では分母になるので逆に最大値が求められることになります。
分母に相加平均・相乗平均の関係から
x+(50000/x)≧2√(x(50000/x))=200√5
等号は x=50000/x 即ち x=√50000=100√5 のとき成立
であるから
tan∠ABC≦50/(200√5)=(√5)/20
等号はx=100√5(m)のとき成立。
以上から
tan∠ABCはx=100√5(m)のとき最大値(√5)/20をとる。
0<∠ABC<90°なので tanxは0<x<90°ではxの単調増加関数であることより
tan∠ABCが最大になるとき∠ABCも最大となる。
したがって∠ABCの最大値は
∠ABC=tan^-1((√5)/20) (≒6.379°、0.11134ラジアン)
この時のBの位置はビルからx(m)離れた x=100√5(m)(≒223.6(m))の時である。
No.2
- 回答日時:
地上にいる人が高さ200mの高層ビルの屋上に立っている高さ50mの鉄塔をみる。
鉄塔の上端をA、この人をB、鉄塔の下端をCとするとき、
∠ABCが最大となるのは、この人がビルから何m離れた時か?
>ただし、この人の身長は無視することとし、また、ビルや鉄塔の水平方向の大きさも無視する。
ビルの真下をDとする。人からビルまでの距離BD=xmとする。
tan∠ABD=(200+50)/x=250/x
tan∠CBD=200/x
加法定理より
tan∠ABC=tan(∠ABD-∠CBD)
=(tan∠ABD-tan∠CBD)/(1+tan∠ABD・tan∠CBD)
=(250/x)-(200/x)/{1+(250/x)・(200/x)}
=50/x/1+(250・200/x^2)
=1/{(x/50)+{1000/x)}
x/50>0,1000/x>0だから、
相加平均・相乗平均より、
(x/50)+(1000/x)≧2√(x/50)・(1000/x)=4√5だから、
1/{(x/50)+(1000/x)}≦1/4√5=√5/20
よって、
tan∠ABC=1/{(x/50)+{100/x)}≦√5/20
等号成立は、x/50=1000/xのとき、x^2=50000だから、
x>0より、x=100√5
よって、tan∠ABCの最大値は、√5/20
このとき、人からビルまでの距離は、100√5m
のようになりました。計算を確認してみて下さい。
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